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全国高中数学联赛模拟试题（二）
（命题人：江厚利审题人：李潜）
第一试
一、选择题（每小题6分，共36分）
1、已知集合A
AB
y3xya1x2
，B

xya
2
1xa1y15

．若
，则a的所有取值是（B）－1，
1252
（A）－1，1（C）±1，2
（D）±1，－4，
D
2、如图1，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点M、N分别B在AB1、BC1上，且AM＝BN．那么，AN①AA1⊥MN；M②A1C1∥MN；D1③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．A1B1以上4个结论中，不正确的结论的个数为图1（A）1（B）2（C）3（D）43、用S
与a
分别表示区间01内不含数字9的
位小数的和与个数．则
lima
S
34
C
C1


的值为（B）
54
（A）
（C）
74
（D）
94
4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A）216个（B）252个（C）324个（D）432个5、对一切实数x，所有的二次函数fx实数．则（A）
13baabc
ax
2
bxc（a＜b）的值均为非负
的最大值是
12
（B）
x
22
（C）3
（D）2
6、双曲线

yb
22
1的一个焦点为
a
F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意
一点．则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A）相交（B）相切
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（C）相离
（D）以上情况均有可能
二、填空题（每小题9分，共54分）
1、已知复数z1
2i，2z2
z1i
2i1
．若△ABC的3个内角∠A、∠B、
z1
2
∠C依次成等差数列，且u
cosA2icos
C2
，则
uz2
的取值范围
是．2、点Pab在第一象限内，过点P作一直线l，分别交x、y轴的正半轴于A、B两点．那么，PA2＋PB2取最小值时，直线l的斜率为．3、若△ABC是钝角三角形，则arccossi
A＋arccossi
B＋arccossi
C的取值范围是．4、在正四面体ABCD中，点M、P分别是AD、CD的中点，点N、Q分别是△BCD、△ABC的中心．则直线MN于PQ的夹角的余弦值为．5、在
x2

2
1
的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和是x
．
6、集合A、B、C（不必两两相异）的并集A∪B∪C＝123
．则满足条件的三元有序集合组ABC的个数是．
三、（20分）
设p＞0，当p变化时，Cp：y2＝2px为一族抛物线，直线l过原点且交Cp于原点和点Ap．又M为x轴上异于原点的任意点，直线MAp交Cp于点Ap和Bp．求证r