高二数学学案
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高二数学平面的法向量与平面的向量表示
学习目标：1、掌握平面的法向量；会求平面法向量2、利用平面的法向量判定线面、面面的位置关系；学习重点：法向量的应用学习过程（一）、预习检测1、设平面的法向量为122平面的法向量为24k若，则k；若则k。2、已知l，且l的方向向量为2m1，平面的法向量为1122则ml3、若的方向向量为21m平面的法向量为1122且l，则m4设
uv
分别是平面αβ的法向量根据下列条件判断αβ的位置关系
1u225v6442u122v2443u235v314
二、复习：1、直线l的向量方程：2、p与a，b共面（a，b不共线）（三）、引入新课1、平面的法向量及求法如果表示向量
的有向线段所在的直线垂直于平面α称这个向量垂直于平面α记作
⊥α这时向量
叫做平面α的法向量
在空间直角坐标系中如何求平面法向量的坐标呢如图设ax1y1z1、bx2y2z2是平面α内的两个不共a线的非零向量由直线与平面垂直的判定定理知若
⊥ab且
⊥b则
⊥α换句话说若
a0且
b0则
⊥α可按如下步骤求出平面的法向量的坐标第一步设设出平面法向量的坐标为
xyz
f第二步列根据
a0且
b0可列出方程组
x1xy1yz1z0x2xy2yz2z0
第三步解把z看作常数用z表示x、y第四步取取z为任意一个正数当然取得越特殊越好便得到平面法向量
的坐标2、平面的向量表示：AM
03、设
1、
2分别是平面、的法向量，那么
或与重合
1
2

1
2
1
20
（四）典例分析1、法向量的求解：例1在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中O是面AC的中心求面OA1D1的法向量zA1B1C1D1
A
A
x
B
O
D
y
2、法向量的应用1、判断直线与平面的位置关系直线L的方向向量为a平面α的法向量为
且Lα①若a∥
即aλ
则L⊥α②若a⊥
即a
0则L∥α
aL
a
f高二数学学案
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例2棱长都等于2的正三棱柱ABCA1B1C1D、E分别是AC、CC1的中点求证IA1E⊥平面DBC1IIAB1∥平面DBC1zA1
C1
B1
EDC
A
2、平面与平面的位置关系平面α的法向量为
1平面β的法向量为
2
1α
2β①若
1∥
2即
1λ
2则α∥β②若
1⊥
2即
1
20则α⊥βαβ

1

2
巩固练习：练习A作业：练习B
1、1、
2、2、
3
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