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圆锥曲线中与斜率相关的定点、定值问题探讨
作者：莫成立来源：《数理化学习高一二版》2012年第11期
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点笔者最近遇到一些与斜率相关的定点、定值问题，并对一般情形进行研究，可以得到一般性结论，与各位共赏
定理1：已知点A（x0，y0）是抛物线y22px上的定点，直线l（不过A点）与抛物线交于M、N两点（1）若kAMkANc（常数），则直线l斜率为定值；（2）若kAMkANc（常数），直线l恒过定点证明：（1）直线l斜率显然不为0，故设为xtym，M（x1，y1），N（x2，y2）由y22pxttym
y22pty2pm0y1y22pt，y1y22pm，kAMkANy1y0x1x0y2y0x2x0
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2p（y1y22y0）y1y2y0（y1y2）y202p（2pt2y0）2pm2pty0y20c，即：4p2t4py02pmc2pty0cy20c，要斜率为定值，即要t2pmcy20c4py04p22py0c为定值，所以c0，ty0p（i）若A为原点，y00，此时直线l斜率不存在；（ii）若A为原点，y0≠0，此时直线l斜率kpy0（2）kAMkANy1y0x1x0y2y0x2x04p2
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2pm2pty0y20c即
2pmc2pty0ccy204p20可解得：
m2pty0ccy204p22mc，直线l方程为：
xty2pty0ccy204p22pc，
即2pt（cyy0c）cy204p22pcx0，恒过定点
（cy204p22pc，y0）
定理2：已知
A（x0，y0）
是椭圆
x2a2y2b21（ab0）上的定点，直线l（不过
A点）与椭圆交于M、N两点（1）若k点；（2）若
AMk
ANc常数，直线l恒过定
kAMkANc常数，直线l斜率为定值
证明：（1）若直线l斜率不存在，设
M（t，b1t2a2），N（
ft，b1t2a2）HT5，5”kAMkAN（b1t2a2y0）（b1t2a2y0）（tx0）2HTy20b2（1t2a2）（tx0）2b2（1x20a2）b
2（1t2a2）（tx0）2b2a2tx0tx0c，则b2a2tx0tx0cx00，cb2a2
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才满足若直线MN斜率存在，设为ykxm，M（x1，y1），N（x2，y2）b2x2a2y2a2b20ykxm
（a2k2b2）x22a2mkxa2m2a2b20
x1x22a2mka2k2b2，x1x2a2m2a2b2a2k2b2kAMkANy1y0x1x0y2y0x2x0（kx1my0）（kx2my0）x1x2x0（x1x2）x20a2b2k2m2b2a2k2y20b2y202my0b2a2m2a2b22a2mkx0b2x20a2k2x20
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a2b2k2m2b2k2（a2b2b2x20）b2y202my0b2
a2m2a2b22a2mkx0（a2b2a2y20）a2k2x20m2b2b2x20k2b2y202my0b2a2m22a2mkx0a2y20a2k2x20b2a2r