经济数学基础
第4章多元函数的微分
第三单元二元函数的极值
第一节二元函数的极值
一、学习目标
偏导数的重要应用就是求极值问题．通过本节的学习，弄清楚二元函数极值、最值的概念，会用极值存在的必要条件求出简单二元函数的极值和最值．
二、内容讲解
1二元函数的极值多元函数极值的概念与一元函数极值的概念类似．若对x0y0附近的xy均有fx0y0fxy，则称x0y0是fxy的极小点，fx0y0是极小值．极大值点、极小值点统称为极值点2极值存在的必要条件若一元函数yfx在x0处可导，且x0是极值点，则fx00若二元函数zfxy在x0y0处可导，且x0y0是极值点，则fxx0y00，fyx0y003二元函数最大值、最小值若zfxy在闭区域D内连续，则zfxy在D内必有最大值和最小值．若zfxy在D内可导，且在D内有唯一驻点x0y0，则zfxy在该驻点x0y0处的值就是最大值或最小值．4求最大值最小值应用问题的步骤：
127
f经济数学基础
第4章多元函数的微分
（1）根据题意，建立函数关系；（2）求驻点；如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点）．问题思考：二元函数的极值点与驻点之间有什么关系？
答案与一元函数类似，二元函数的驻点不一定是极值点，偏导数不存在的极值点也不是驻点．但偏导数存在的极值点一定是驻点．
三、例题讲解
例1求函数zx2y22x2在圆域Dxyx2y22x上的最大值和最
小值．
解：显然z0，且在闭域D上连续，当x2y22x时，z0，这是该函数在D上的最小值．
下面求最大值：
zx

2x2

y2
2x2x
2

0，
zy

2x2

y2
2x2y

0
解得x1y0
它是函数zx2y22x2在D内部的唯一驻点，故是最大点，最大值为
z101．
例2用铁皮做一个体积为V的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？
解：设长、宽分别为xy，则高为V，表面积为xy
Sxy2xV2yVxy2V2V
xyxy
yx
128
f经济数学基础
第4章多元函数的微分
Sx

y

2Vx2
0Sy，

x
2Vy2
0
V32V解得xy32V，此时高为xy2
32V答：当长、宽、高分别为32V、32V、2时，无盖箱子用料最省．
四、课堂练习
某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告．根据统计资料，销
售收入R（万元）与电台广告费用x1万元及报纸广告费用x2（万元）之间的关
系有如下经验公式R1514x132x28x1x22x1210x22，在广告费用不限的情况下，r