14绝对值三角不等式
☆教学目标：1理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；3理解绝对值三角不等式新疆；
王新敞奎屯
4会用绝对值不等式解决一些简单问题。
☆教学重点：定理1的证明及几何意义。
☆教学难点：换元思想的渗透。
☆教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之
外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）abab
（2）abab
（3）abab
（4）aab0bb
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道
理？实际上，性质abab和aab0可以从正负数和零的乘法、除法bb
法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证
明。现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0
时，等号不成立）。同样，aa当且仅当a0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的
1
f性质。
二、典型例题：
例1、证明（1）abab，
（2）abab。
证明（1）如果ab0那么abab所以ababab
如果ab0那么abab所以
abababab
（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。
所以，abab。
例2、证明ababab。
例3、证明abacbc。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB
当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0
（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？
定理1如果abR那么ababrr
在上面不等式中用向量ab分别替换实数abrr
则当ab不共线时由向量加法三角形法则rrrr
向量abab构成三角形因此有｜ab｜｜a｜｜b｜
其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
2
f例4、r