型余项的
阶麦克劳林公式为：ex1xx2x
οx
2
5分
10．求曲线yl
x上与直线xy1垂直的切线的方程．解由题意，令y′
所求的切线方程为yx1
111得x1所以切点坐标为10……………（3分）x1
……………（5分）
四、应用题（共10分）应用题（
已知函数yax3bx2（1）ab为何值时，点（1，3）为该曲线的拐点？（5分）（2）此时函数在区间03上的最大值最小值是多少？（5分）解：（1）y′′6ax2b
点（1，3）为该曲线的拐点可得
3ab6a2b0
…………（3分）
3a2得b92
（2）y
…………（5分）
3392xx22y′0得x0x2
…………（3分）
9y′x29x2
yx00yx26yx30
因此，函数在03最大值为6，最小值为0…………（5分）
五、证明题（每题5分，共10分）证明题（每题510分
中国计量学院20102011学年第一学期《高等数学A1》课程期中考试试卷第3页共4页
f1设eabe，证明：l
bl
a
2
2
2
4ba．e2
证明：由lagra
ge中值定理得
l
2bl
2a
令fx
2l
ξ
ξ
ba，ξ∈ab，1
…………（2分）
l
x1l
xx∈ee2，则f′x．xx2
令f′x0，得驻点xe，而当xe时，f′x0，故fx在ee2上单调递减，
于是
l
e22fx≥fe22x∈ee2，ee
2
…………（4分）
所以
fξ
l
ξ
ξ
≥
2e2
2
由12得
l
2bl
2a
5
4bae2
…………（5分）
2证明方程x3x1至少有一个介于1和2之间的根证明：fxx53x1在12上连续…………（1分）
f130f2250…………（3分）
有零点定理可得至少存在一点ξ∈12fξ0…………（5分）
中国计量学院20102011学年第一学期《高等数学A1》课程期中考试试卷
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