第三章函数逼近与曲线拟合
1函数的逼近与基本概念
11问题的提出
多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、
除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有
解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运
算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分
式函数实际上，我们已经接触到两种逼近多项
式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式
泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，
满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不
宜在计算机上直接使用例如，设fx是11上

的光滑函数，它的Taylor级数fxakxk，
k0
ak

fk0在11上收敛。当此级数收敛比较
k
快时，e
xfxs
xa
1x
1。这个误差分
布是不均匀的。当x0时，e
00，而x离开
零点增加时，e
x单调增加，在x1误差最
1
f大。为了使11的所有x满足fxs
x，必须选取足够大的
，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
图1
2
实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近
f12范数与逼近
一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间例如将所有实
维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作R
，称为
维向量空间类似地，对次数不超过
的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R上一个线性空间，用H
表示，称为多项式空间。所有定义在ab上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R上的线性空间，记作Cab类似地，记Cpab为具有p阶连续导数的函数空间在实数的计算问题中，对实数的大小、距离
3
f及误差界等是通过绝对值来度量的实践中，我
们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和
向量之间的距离进行度r