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元素法在多元函数积分学中的应用
作者：张辉敬斌王静来源：《卷宗》2017年第09期
摘要：介绍了元素法在重积分和第一类曲面积分计算中的应用，给出相应的求解思路，并辅以典型例题，旨在使学生对元素法有更深的理解和掌握关键词：元素法；定积分；重积分；第一类曲面积分基金项目：陕西省高等教育教学改革研究项目重点课题（编号：15BZ74）、陕西省教育厅专项科研计划项目（编号：16JK1696）资助定积分的元素法1是高等数学一元函数积分学的重要内容，是学生学习的重点和难点。下面介绍利用元素法计算重积分和第一类曲面积分的方法，给出相应的求解思路，并辅以典型例题供参考学习。为了确保积分的存在性，假设被积函数均是连续的。1计算重积分对于重积分和，可以采用定积分元素法方便计算。具体计算步骤为：（1）选取恰当的积分变量U，确定积分区域；（2）任取小区间（或），确定面积元素和体积元素关于U的表达式；（3）将被积函数和化为关于U的表达式；（4）化二重积分和三重积分为关于U的定积分。例1计算，其中：（）。解任取一点，记该点到坐标原点的距离为，选取作为积分变量，则积分区间为。任取，以半径为的圆周作为底边、为高的矩形的面积作为面积元素，则。故有。例2计算，其中：（）。解任取一点，记该点到坐标原点的距离为，选取作为积分变量，则积分区间为。任取，以半径为的球面作为底面、为高的立体的体积作为体积元素，则。故有。2计算第一类曲面积分设空间曲面，其中为竖坐标为的平面截空间曲面所得到的一个平面闭曲线，如图1所示。若当固定时，在闭曲线上任意一点的外单位法向量的方向角不变，则有，其中为的闭曲线的长度。
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特别地，当积分曲面为圆柱面时，可化为定积分或第一类曲线积分简化计算。例3计算，其中为圆柱面介于z0和之间的那部分曲面。解由元素法，圆柱面的面积元素可取为。即有在利用元素法计算重积分和曲面积分过程中，学生要不断地掏出心思去学它、懂它、理解它、体会它，从而真正感到它内在的美。若能以“人一能之己十之，人十能之己百之”的精神去投入，就会取得“虽愚必明，虽柔必强”的效果。参考文献1同济大学数学系高等数学（上册）M6版北京：高等教育出版社，2007：2722742张辉，李应岐第一类曲面积分的计算方法J高等数学研究，2014，17（2）：44463张辉，李应岐谈二重积分r