第七讲
化归解方程组的基本思想
初中阶段已学过的方程组有二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组尽管具体到每类方程组的解法不全相同但纵有千变万化而万变不离其宗化归是解方程组的基本思想降次与消元是化归的主要途径因式分解、换元是降次的常用方法代人法、加减法是消元的两种主要手段解一些特殊方程组如未知数系数较大未知数个数较多等需要在整体分析方程组特点基础上灵活运用一些技巧与方法常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等注转化与化归是解方程组的基本思想常见形式有分式方程整式化无理方程有理化高次方程低次化多元方程一元化通过恰当的转化化归目的明确复杂的方程组就会变为我们熟悉的、简单的方程组【例题求解】【例1】已知正实数x、、z满足yzyz15则xyzxyz思路点拨
xyxy8
zxzx35由abab1a1b1想到从分解因式入手还需整体考虑
xzyz23的正整数解的组数是xyyz63

【例2】方程组

A4B3C2D1思路点拨直接消元降次解三元二次方程组较困难从分析常数项的特征入手【例3】1解下列方程组2
xx13x5y144x24x5y24
xyxy1322xy29
3
3x13y12xy26
思路点拨对于1先求出整体xy、xy的值对于2视x2x、
xx3x5y的值对于3设3x1a3y1b用换元法解
2
为整体可得到
、
【例4】已知a、b、c三数满足方程组
ab8试求方程bx2cxa0的根2abc82c48
思路点拨先构造以a、b为两根的一元二次方程从判别式入手突破c的值注方程与方程组在一定的条件下可相互转化借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用工具一个含多元的方程往往蕴含着方程组【例5】已知方程组
y24x有两个实数解为y2xa
和
xx211且x1x20x1x2设bx1x2yy2
1求a的取值范围2试用关于a的代数式表示出b3是否存在b3的a的值若存在就求出所有这样的的值若不存在请说明理由思路点拨代人消元得到关于x的一元二次方程综合运用根的判别式、韦达定理等知识求解解题中注意隐含条件的制约方能准确求出a的取值范围注方程组解的性质、个数的探讨问题往往转化为一元二次方程根的个数、性质的讨论r