232双曲线的简单几何性质
A基础达标
1．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点5，3，则双曲线的方程为
x2y2A．25－25＝1
x2y2B．9－9＝1
y2x2C．16－16＝1
x2y2D．16－16＝1
解析：选D．由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λλ≠0，将
点5，3代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即1x62－1y62＝1
2．已知双曲线C：xa22－yb22＝1a＞0，b＞0的离心率e＝54，且其右焦点F2的坐标为5，0，
则双曲线C的方程为
x2y2A．4－3＝1
x2y2B．16－9＝1
x2y2C．9－16＝1
x2y2D．3－4＝1
解析：选
B．依题意得
e＝ca＝54，又
c＝5，故
a＝4，所以
b＝3，所以双曲线
C
x2的方程为16
y2－9＝1故选B．
x2y23．2018高考全国卷Ⅲ已知双曲线C：a2－b2＝1a0，b0的离心率为2，则点4，
0到C的渐近线的距离为
A．2
B．2
C．322
D．22
解析：选D．法一：由离心率e＝ca＝2，得c＝2a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲
线C的渐近线方程为y＝±x由点到直线的距离公式，得点4，0到C的渐近线的距离为41＋1
＝22故选D．
法二：离心率e＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点4，0到C的渐近线的距离为4＝22故选D．
1＋1
f4．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为
4A．3
5B．3
C．2
D．3
解析：选B．不妨设双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1a＞0，b＞0，则2×2b＝2a＋2c，即
b＝a＋2c又b2＝c2－a2，则a＋2c2＝c2－a2，所以3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，注意
到e＞1，得e＝53故选B．
5．如图，双曲线C：x92－1y02＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则
P2F1－P1F1的值是
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：选C．设F2为右焦点，连接P2F2图略，由双曲线的对称性，知P1F1＝P2F2，所
以P2F1－P1F1＝P2F1－P2F2＝2×3＝66．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴
双曲线方程是________．
解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点
坐标为－4，0，故双曲线的一个焦点为－4，0，即c＝4设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，
则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以双曲线方程为x82－y82＝1
x2y2答案：8－8＝1
x2y2
x2y2
7．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为a2＋b2＝1，双曲线C2的方程为a2－b2＝1，C1与C2的离
心率之积为23，则C2的渐近线方程为________．
解析：依题意得
a2－b2a
a2＋b2a＝
23，化简得
a2r