2013中考数学压轴题函数梯形问题精选解析一
例1已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－a＋1x与直线y＝kx的一个公共点为A4，8．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．
备用图
解析（1）抛物线的解析式为y＝x2－2x，直线的解析式为y＝2x．（2）如图1，当P为OA的中点时，PQ的长度取得最大值为4．（3）如图2，如果四边形AOMN是梯形，那么点N的坐标为3，3，梯形AOMN的面积
为9．
图1
图2
例2
已知二次函数的图象经过A（2，0）、C0，12两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点
为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求
出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度
1
f的速度由点P向点O运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
图1
图2
解析
（1）设抛物线的解析式为yax42k，代入A（2，0）、C0，12两点，得
4ak016ak12
解得
ak

14
所以二次函数的解析式为yx424x28x12，顶点P的坐标为（4，－4）．
（2）由yx28x12x2x6，知点B的坐标为（6，0）．
假设在等腰梯形OPBD，那么DP＝OB＝6．设点D的坐标为x，2x．
由两点间的距离公式，得x422x4236．解得x2或x＝－2．
如图3，当x＝－2时，四边形ODPB是平行四边形．
5
所以，当点D的坐标为2，4时，四边形OPBD为等腰梯形．55
图3
图4
图5
（3）设△PMN与△POB的高分别为PH、PG．
在Rt△PMH中，PM2t，PHMHt．所以PG2t4．
在Rt△PNH中，PHt，NH1PH1t．所以MN3t．
2
2
2
①如图4，当0＜t≤2时，重叠部分的面积等于△PMN的面积．此时S13tt3t2．224
②如图5，当2＜t＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面
2
f积．由于S△PDCS△PMN


PGPH
2

，所以
S△P

DC


r