132三角函数的图像与性质（4）
一、课题：正、余弦函数的值域（2）
二、教学目标：1进一步掌握与正、余弦相关函数的值域的求法；2正、余弦函数的值域在应用题中的应用。
三、教学重、难点：与正、余弦函数值域相关的应用题的解法。四、教学过程：（一）复习：练习：求下列函数的值域：
（1）ysi
x3cosx1；
（2）y3si
x；13si
x
（3）ycosxsi
2xcos2x7．4
（二）新课讲解：
1．三角函数模型的应用题
例1：如图，有一快以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其
一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关
于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
解：设AOB，则ABasi
，OAacos，
B
C
∴Sasi
2acosa22si
cosa2si
2，
∴当si
2取得最大值1时，S取得最大值a2，

此时，

4
，OAOD

2a，2
AOD
答：A、D应该选在离O点2a处，才能使矩形ABCD的面积最大，最大面积为a2．
22．含字母系数的函数最值
例2：已知函数yabcos3x（b0）的最大值为3，最小值为1，求函数
2
2
y4asi
3bx的最大值和最小值。
解：yabcos3x（b0）
当cos3x

1时，
ymax

a
b

32
，
①
当cos3x
1时，
ymi


a
b


12
，
②
由①②得
a

12
，
b1
∴y41si
3x2si
3x，2
所以，当si
3x1时，ymax2，当si
3x1时，ymi
2．
例3：已知函数y2asi
2xacos2xab的定义域是0，值域是51，求常数ab．2
解：y2asi
2xacos2xab
a1cosx2acoxs2ab2a2acosx2b
∵x0，∴2x0，∴1cos2x1，2
若a0，则当cos2x1时函数取得最大值1，当cos2x1时函数取得最小值5，
f∴
4abb5

1
，解得：
ab

325
，
若a0时，则当cos2x1时函数取得最大值1，当cos2x1时函数取得最小值5，
∴
b14ab

5
，解得：
ab

1
32
，
所以，
a

32
或
a


32
．
b5b1
五、小结：1．三角函数模型的应用题的解法；
2．函数字母系数的函数最值问题的解法。
六、作业：
补充：
1．求下列函数的值域：
r