构造法在数学解题上的应用【摘要】在数学解题过程中由于某种需要经常要把题设条件中关系构造出来或将关系设在某个模型上得到实现或将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题得到解决，这种对已知知识和方法采取分解、组合、推理等手段来解决问题的方法称之为构造法。构造法就是建立这些模型的方法。运用构造法，有时能使问题得到巧妙的解决。【关键词】构造法解题二次函数一、引言构造法是数学解题中富有创造性的思维方法，它要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，通过分析具体命题，构造一些新的图形、模型、方程、函数等。使命题中原来隐晦不清的关系和性质，在新的构造中清楚地展现出来，从而简捷地解决原命题。由于构造法在解题时可得到巧妙的解答因此对不同的题目我们往往采取不同的构造方法。下面就关于以下几个角度谈谈构造法的妙用。二、几种常用的构造方法（一）构造辅助函数法构造辅助函数以作为条件与结论的“中介”并借助这个“中介”将条件与结论联系起来在解数学问题时具有独特的成效。例1．求证。1分析
f构造辅助函数。由已知条件易知从而无论一次函数是增函数还是减函数当时有所以。即成立。例2．二次函数方程的两个根满足。21当时证明2设函数的图象关于直线对称。证明。分析本题可通过构造一个辅助二次函数然后用一元二次方程、二次函数和不等式的基本知识解决。证明令，因为是方程的根所以有。当时由于得，又得即。因为所以得即所以。2依题意知因为是方程的两个根即是方程的两根。所以有。因为所以。
f例3．设试求点的存在范围。3分析：注意到有下列关系：观察式发现有与这使我们联想起构造一元二次方程及相应的二次函数。由此可得到如下的解法：因为；所以。由联想到构造一元二次方程。①则此方程的两根在内。设则。于是从而方程①化为：其图象为开口向上的抛物线图1，因为方程①两根在内，所以由图象知；即。所以点的存在范围如图2所示的阴影区域。（二）构造辅助方程法构造辅助方程是以方程作为条件与结论的“中介”并借助这个“中介”将条件与结论联系起来，是构造法在数学问题上的又一表现形式。例4．已知抛物线以及抛物线上的点a，p，q是抛物线上的动点，且，求q点横坐标变化范围（图3）。分析：设。因为；
f所以；即。看成关于的二次方程。因为；所以；所以或。即q点的横坐标时有。例5r