1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试卷
一、填空题本题共5小题每小题3分满分15分把答案填在题中横线上
1当x_____________时函数yx2x取得极小值
2由曲线yl
x与两直线ye1x及y0所围成的平面图形的面积是
_____________
x1
3与两直线y1t
z2t
及x1y2z1都平行且过原点的平面方程为_____________
1
1
1
4设L为取正向的圆周x2y29则曲线积分2xy2ydxx24xdyL
_____________5已知三维向量空间的基底为α1110α2101α3011则向量
β200在此基底下的坐标是_____________
二、本题满分8分
求正的常数a与b使等式lim1
xt2dt1成立
x0bxsi
x0at2
三、本题满分7分1设f、g为连续可微函数ufxxyvgxxy求uv
xx
301
2设矩阵A和B满足关系式ABA2B其中A1
1
0


求矩阵
B
014
四、本题满分8分求微分方程y6y9a2y1的通解其中常数a0
五、选择题本题共4小题每小题3分满分12分每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内
1设limfxfa1则在xa处xaxa2
Afx的导数存在且fa0Cfx取得极小值
Bfx取得极大值Dfx的导数不存在
s
2设fx为已知连续函数Ittftxdx其中t0s0则I的值0
A依赖于s和t
B依赖于s、t和x
C依赖于t、x不依赖于s
D依赖于s不依赖于t
3设常数
k

0
则级数

1
1

k
2
A发散
B绝对收敛
C条件收敛
D散敛性与k的取值有关
4设A为
阶方阵，且A的行列式Aa0而A是A的伴随矩阵，则A等
于
Aa
B1
a
Ca
1
Da

六、（本题满分10分）
求幂级数

1


12

x
1
的收敛域，并求其和函数
f七、（本题满分10分）求曲面积分
Ix8y1dydz21y2dzdx4yzdxdy
其中
是由曲线
f
x

z

y1
1y3绕y轴旋转一周而成的曲面其法向

x0
量与y轴正向的夹角恒大于2
八、（本题满分10分）设函数fx在闭区间01上可微对于01上的每一个x函数fx的值都在开区间01内且fx1证明在01内有且仅有一个x使得fxx
九、（本题满分8分）问ab为何值时现线性方程组
x1x2x3x40x22x32x41x2a3x32x4b3x12x2x3ax41
有唯一解无解有无穷多解并求出有无穷多解时的通解
十、填空题本题共3小题每小题2分满分6分把答案填在题中横线上1设在一次实验中事件A发生的概率为p现进行
次独立试验则A至少发生一次的概率为____________而事r