将y＝kx代入椭圆的方程x2＋y42＝1整理得：k2＋4x2＝4，
故x2＝－x1＝
2k2＋4，①
因为A1，0，B0，2，故由两点式得直线AB的方程为：2x＋y－2＝0，
设点E，F到直线AB的距离分别为h1，h2，则
h1＝2x1＋k5x1－2＝2（2＋5（k＋k2＋k42＋）4），
h2＝2x2＋k5x2－2＝2（2＋5（k－k2＋k42＋）4），
AB＝22＋1＝5，
所以四边形AEBF的面积为
S＝12ABh1＋h2＝12×
4（2＋k）2（2＋k）5×5（k2＋4）＝k2＋4＝2
4＋k2＋4kk2＋4＝2
4k1＋k2＋4＝
4
2
1＋k＋4k≤22，
当k2＝4k0，即k＝2时，上式取等号．
所以当四边形AEBF面积取最大值时，k＝2
62016河南省八校联考已知点P2，3，Q2，－3在椭圆1x62＋1y22＝
1上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
1若直线
AB
1的斜率为2，求四边形
APBQ
的面积的最大值；
2当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解：1设Ax1，y1，Bx2，y2，直线AB的方程为y＝12x＋t，把其代入1x62＋1y22＝1，得x2
＋tx＋t2－12＝0，
由Δ＝t2－4t2－120，解得－4t4，由根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12
f四边形APBQ的面积S＝12×6×x1－x2＝348－3t2，所以当t＝0时，Smax＝123
2当∠APQ＝∠BPQ，则直线PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，
则PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝kx－2，
y－3＝k（x－2），
由1x62＋1y22＝1，
得3＋4k2x2＋83－2kkx＋43－2k2－48＝0，则x1＋2＝
8（2k－3）k3＋4k2，
同理直线PB的方程为y－3＝－kx－2，
可得x2＋2＝－8k（3＋－42kk2－3）＝8k（3＋2k4＋k23），
所以x1＋x2＝136＋k2－4k122，x1－x2＝3－＋448kk2，
kAB＝yx11－－yx22＝k（x1－2）＋x31－＋xk2（x2－2）－3＝k（x1x＋1－x2x）2－4k＝12，所以直线AB的斜率为
定值12
1．2016洛阳统考已知椭圆C：xa22＋yb22＝1ab0的离心率为12，一个焦点与抛物线y2＝
4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．
1求椭圆C的标准方程；2设O为坐标原点，kOAkOB＝－ba22，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若
不是，说明理由．
解：1由题意得c＝1，又e＝ca＝12，
所以a＝2，从而b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆
C
x2y2的标准方程为4＋3＝1
2设点Ax1，y1，Bx2，y2，
由x42＋y32＝1得3＋4k2x2＋8mkx＋4m2－3＝0，y＝kx＋m
由Δ＝8mk2－163＋4k2m2－30得m23＋4k2因为x1＋x2＝－3＋8m4kk2，x1x2＝4（3m＋2－4k32），
所以y1y2＝kx1＋mkx2＋m＝k2x1x2＋mkx1＋x2＋m2＝3（3m＋2－44kk22）
由kOAkOB＝－ba22＝－34得y1y2＝－34x1x2r