2009级B班量子力学考试试题北航
姓名叶强一．（l5分）验证球面波
（注：2
1r
2
得分
rts
Ar
i
prEt
eh
满足自由粒子的薛定谔方程：
r
r
2
r

1r
2
，其中
2
2
代表仅与角度有关的微分算符）
二．（本题15分）简述定态的特点；证明在定态下，粒子的任何不显含时间
的力学量的测值概率不随时间变化。
三．（本题20分）
（1）求算符Fie
ix
ddx
和Q
2
e
ix
的对易关系。
2
h（2）证明Hxxm
p，其中HxVx2m
。
四．（本题l0分）
若KLM
L
，且LM
ML1，证明：若
为K的本征函数，对应的本征值为
1；M

，则u
也是K的本征函数，对应的本征值为
1。
也是K的本征
函数，对应的本征值为
五．（本题10分）
设t
0时，电荷为e
的线性谐振子处于基态：在t
0时附加上一个与谐振子
振动方向相同的恒定外电场E，求谐振子处在任意态的概率。已知
x
x1a
12


1
x

2


1
x
，其中


h
，
x为谐振子的
能量本征函数。
六．（本题l5分）
设电子处于某自旋态，在该态中电子自旋Sy的取值为旋Sz和Sx的可能取值、测值概率和平均值。
h2
，求在该态中电子自
七．（15分）
f设t
0
时刻氢原子处于r0

12

211
r
32
321r
状态，其中

lmr是氢原子哈密顿算符的正交归一化本征波函数。
求：（1）t（2）t（3）t（4）t
0时刻，体系能量（E

e
2
42
）的平均值。
2h
2
0时刻，体系角动量平方L
0时刻，体系角动量x
的平均值。
分量Lx的平均值。。
t时刻，体系所处的状态rt
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