第一讲空间几何体
一、选择题1．2010广东如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，3CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体2ABC－A′B′C′的正视图也称主视图是
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解析：根据三视图的定义，几何体的主视图是几何体在它的正前方的竖直平面上的正投影，故选D答案：D2．2010陕西若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
1A3
2B3
C．1
D．2
解析：由几何体的三视图知几何体是底面为以1和2为直角边的直角三角形，高为12的直三棱柱，∴V＝×1×2×2＝1，故选C2答案：C3．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为A33a8B23a8
1Ca38解析：方法一：
1Da312
设三棱锥另一棱长BC＝x，如右图，取BC的中点E，连结AE、DE，易证BC垂直于平面ADE，
f3a2－x211111故VA－BCD＝S△ADEBE＋S△ADEEC＝S△ADEBC＝ax333322＝
222ax＋3a－xa3a222x3a－x≤＝，121228
当且仅当x2＝3a2－x2x＝
6a时取得等号．2
方法二：如上图，底ABD是固定的，当C动起来时，显然当平面CAD⊥平面ABD时高最大，体积最大，133a3Vmax＝a2a＝3428答案：C
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4．如右图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为A23B324C33D2
解析：如右图，分别过点A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，13容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，22122∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，22412112122∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝××＋××＋×1＝故选A34234243答案：A5．2010全国Ⅰ已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2，则四面体ABCD的体积的最大值为23A343B3C．2383D3
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f解析：解法一：设AB＝a，CD＝b，异面直线AB与CD所成角为θ，距离为h，将△BCD补成平行四边形BCDE，则BE＝b，∠ABE＝θ，111∴VA－BCD＝VA－BDE＝VD－ABE＝×absi
θh＝abhsi
θ，由题意知a＝b＝2，分别以3261AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，则h＝23，∴VA－BCD＝×2×2×23si
θ6＝4343si
θ≤，当θ＝90°时取等号．33
解法二：分别以AB、CD为直径作两个互相平行的圆面，将四面体ABCD放入长方1123体中，如图，设长方体的底面边长为a、b，则VA－BCD＝V长方体＝ab×23＝ab，33343又由a2＋b2＝4≥2ab得ab≤2，则VA－BCD≤，故选B3解法三：过CD作平面Pr