,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,PC⊥平面ABCD,点E在棱PA上.(Ⅰ)求证:直线BD⊥平面PAC;(Ⅱ)若PC∥平面BDE,求证:AEEP;(Ⅲ)是否存在点E,使得四面体ABDE的体积等于四面体PBDC的体积的?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【解答】(本小题满分14分)证明:(Ⅰ)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥BD,
f因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC,因为PC∩ACC,所以BD⊥平面PAC.(Ⅱ)设AC与BD交点为O,连接OE,因为平面PAC∩平面BDEOE,PC∥平面BDE,所以PC∥OE,又由ABCD是菱形可知O为AC中点,所以,在△PAC中,所以AEEP.解:(Ⅲ)在△PAC中过点E作EF∥PC,交AC于点F,因为PC⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.由ABCD是菱形可知S△ABDS△BDC,假设存在点E满足所以在△PAC中,所以.,,即,则,,
19.(13分)已知函数f(x)(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
2x1.
(Ⅱ)当0<a≤时,求函数f(x)在区间a,a上的最大值.【解答】(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由得f(x)x2x2(x1)(x2),
令f(x)0,得x12,x21,f(x),f(x)的情况如下表:x(∞,2(2,1)1(1,∞)
f2)f(x)f(x)0极大0极小
所以函数f(x)的单调增区间为(∞,2),(1,∞),单调减区间为(2,1).(Ⅱ)由当a<2即可得.
时,由(Ⅰ)可得f(x)在a,2)和(1,a上单
调递增,在(2,1)上单调递减,所以,函数f(x)在区间a,a上的最大值为maxf(2),f(a),又由(Ⅰ)可知所以,;
当a≥2,a≤1,即0<a≤1时,由(Ⅰ)可得f(x)在a,a上单调递减,f(x)在a,a上的最大值为.
当2≤a,a>1,即1<a≤2时,由(Ⅰ)可得f(x)在a,1)上单调递减,在(1,a上单调递增,所以,函数f(x)在区间a,a上的最大值为maxf(a),f(a),法1:因为所以法2:因为2≤a<1,1<a≤2所以由(Ⅰ)可知所以f(a)>f(a),所以法3:设1,2上的情况如下表:xf(x)102.,则g(x)2x24,g(x),g(x)的在,,,.
ff(x)
极大
所以,当0<x<2时,g(x)>g(0)0,所以g(a)f(a)f(a)>0,即f(a)>f(a)所以maxf(a),f(a)f(a)综上讨论,可知:当时,函数f(x)在区间a,a上的最大值为;..
当0<a<2时,函数f(x)在区间a,a上的最大值为
20.(14分)已知r