非线性作业
一一级直线倒立摆
如图1所示
系统里的各参数变量
M：小车系统的等效质量（1096kg）；
m1：摆杆的质量（0109kg）；m2：摆杆的半长（025m）；J：摆杆系统的转动惯量（00034kgm）；
g：重力加速度（98NKg）；
r：小车的水平位置（m）；
θ：摆角大小（以竖直向上为0起始位置，逆时针方向为正方向）；
Fh：小车对摆杆水平方向作用力（N）（向左为正方向），Fh’是其反作用力；Fv：小车对摆杆竖直方向作用力（N）（向上为正方向），Fv’是其反作用力；U：电动机经传动机构给小车的力，可理解为控制作用u’（向左为正方向）；
xp：摆杆重心的水平位置（m）；yp：摆杆重心的竖直位置（m）。1．1一级倒立摆的数学建模
定义系统的状态为rrθθ
经推导整理后可以达到倒立摆系统的牛顿力学模型：
Iml2mrlcosmglsi
mlcosMmrmlsi
2u
（1）（2）
因为摆杆一般在工作在竖直向上的小领域内θ0，可以在小范围近似处理：cos1si
020，则数学模型可以整理成：
Iml2mrlmgl
（3）
mlMmru
（4）
系统的状态空间模型为
frr

0000
1000
0m2gl2
IMmMml20
mglMm
IMmMml2
r
y

r


10000100r

00u
0

0
0
10
r
r







I
M
0

IM
I

ml2mMml2
mlmMml2

u
（5）（6）
代人实际系统的参数后状态方程为：
r01
r

00
00
00
00062930
012782850
r0
r


08832u0
23566
r
y

r


10000100r

00u
（7）（8）
12滑模变结构在一级倒立摆系统的应用
主要包括切换函数的设计、控制率的设计和系统消除抖振的抑制。基于线性二次
型最优化理论的切换函数设计，定义系统的优化积分指标是：
JxTQxdtQ0，
本文采0用指数趋近律：SkSsg
S，其中k和ε为正数。将其代人SCx0
中，可以得到：SCxCAxCBukSsg
S
（9）
控制率为：uCB1CAxkSsg
S
（10）
ε的选取主要是为了抑制系统的摩擦力和近似线性化所带来的误差和参数摄动等因素，从而使得系统具有良好的鲁棒性。文中k25ε08。取变换矩阵T。
f100
0

其中
T
00
10
01
Iml2
ml0

，

000
1
去Q11diag30050350，Q2210
关于Riccati
方程
PA11

AT11
P

PA12Q221A1T2P

Q11

0的解有
MATLAB
的
lqr
函数可以解出
692716521492813596098P214928111218941498204
359609814982043544007
C010000006927172106295359610
SxC0rrT
二程序
主程序：直线一级倒立摆
clearall
closeall
globalCM0F
ts002采样时间
T30
仿真时间
TimeSet0tsT
paraoptio
s为解r