制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数
sst应满足关系式
d2sdt2

04

4
此外未知函数sst还应满足下列条件
t0时s0
vds20dt
简记为st00st020
5
f把4式两端积分一次得
高等数学教案
v

dsdt

04t

C1

6
再积分一次得
s02t2C1tC2
7
这里C1C2都是任意常数
把条件vt020代入6得
20C1把条件st00代入7得0C2把C1C2的值代入6及7式得
v04t20
8
s02t220t
9
在8式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
t2050s04
再把t50代入9得到列车在制动阶段行驶的路程
s025m
几个概念
微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程
常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程
偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程
微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶
x3yx2y4xy3x2
y44y10y12y5ysi
2x
y
10
一般
阶微分方程
Fxyyy
0
y
fxyyy
1
微分方程的解满足微分方程的函数把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式叫做该微
分方程的解确切地说设函数yx在区间I上有
阶连续导数如果在区间I上
f高等数学教案
Fxxx
x0那么函数yx就叫做微分方程Fxyyy
0在区间I上的解
通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解
初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如xx0时yy0yy0
一般写成
yxx0y0yxx0y0
特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程yfxy满足初始条件yxx0y0的解的问题记为
yfxy

y
x
x0

y0

积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线
例3验证函数xC1cosktC2si
kt是微分方程解求所给函数的导数
d2xdt2

k
2x
0
的解
dxdt

kC1
si

k
t
kC2
cosk
t

d2xdt2

k
2C1
c
osk
t

k
2C2
s
i

kt
k
2C1
c
osktC2
si

k
t

将d2xdt2
及x的表达式代入所给方程
得
k2C1cosktC2si
ktk2C1cosktC2si
kt0
这表明函数xC1cosktC2si
kt
满足方程
d2xdt2

k
2
x

0

因此所给函数是所给方程的解
例4
已知函数
xC1cosktC2si
ktk0是微分方程
d2xdt2

k
2
x

0
的通解
求满足初始条件
xt0Axt00
的特解
f高等数学教案
解由条件xt0A及xC1cosktC2si
kt得C1A
再由条件xt00及xtkC1si
ktkC2coskt得C20
把C1、C2的值r