利用空间向量证明空间中的位置关系
一、选择题每小题5分共25分
25分钟60分
12016泉州模拟设平面α的一个法向量为
1122平面β的一个法向量为
224k若α∥
β则k
A2
B4
C2
D4
【解析】选B由α∥β知
1∥
2则
2λ
1
即24kλ122
即
解得k4
【加固训练】若平面αβ垂直则下面可以是这两个平面的法向量的是A
1121
2311B
1112
2211C
1111
2121D
1121
2022【解析】选A因为α⊥β所以
1⊥
2即
1
20经验证可知选项A正确22016西安模拟若平面αβ的法向量分别是
1235
2314则Aα∥βBα⊥βCαβ相交但不垂直D以上答案均不正确【解析】选C因为
1
22×33×15×4≠0所以
1与
2不垂直且不共线所以α与β相交但不垂直
3若λA相交
μ则直线AB与平面CDE的位置关系是B平行
fC在平面内
D平行或在平面内
【解析】选D由λ或在平面内
μ知向量共面则直线AB与平面CDE的位置关系是平行
42016珠海模拟如图所示正方体ABCDA1B1C1D1中EF分别在A1DAC上且A1EA1DAFAC则
AEF至多与A1DAC之一垂直BEF⊥A1DEF⊥ACCEF与BD1相交DEF与BD1异面【解题提示】建立空间直角坐标系用向量法求解【解析】选B以D点为坐标原点以DADCDD1所在直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系设正方体棱长为1则A1101D000A100C010
E
F
B110
D1001
101110

111

0
从而EF∥BD1EF⊥A1DEF⊥AC故选B5如图正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直以CDCBCE所在直线分别为xyz轴建立空间直角
坐标系ABAF1M在EF上且AM∥平面BDE则M点的坐标为
fA111C
BD
【解析】选C由已知得A0B00D00E001设Mxx1
则xx1
abc
0
01设平面BDE的一个法向量为
则
即
解得
令b1则
11
又AM∥平面BDE所以
0即2x0得x
所以M

二、填空题每小题5分共15分
6设点C2a1a12在点P200A132B814确定的平面上则a

【解析】由共面向量定理知xy即2a1a12x132y614
即
解得a16
答案16
72016襄阳模拟已知平面α内的三点A001B010C100平面β的一个法向量

111则不重合的两个平面α与β的位置关系是

【解析】由已知得011101设平面α的一个法向量为mxyz
f则
得
得
令z1得m111
又
111所以m
即m∥

所以α∥β
答案平r