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正弦函数的图像与性质
知识梳理1任意角的正弦函数（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆（2）定义如图141所示，单位圆与角α的终边交于P点设P（a，b）则P点纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记为bsi
αα∈R通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为ysi
xx∈R
图141（3）正弦线如图141所示，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线当角α的终边在x轴上时，M与P重合，此时正弦线变成一个点（4）正弦线所表示的正弦值可如下确定：正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为正，向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值5正弦函数定义的推广如图142所示，设P（xy是α的终边上任意一点，
图142
22P到原点的距离OP＝r，有rxy
则si
α＝
yr
对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数正弦函数值与点P在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小2周期函数一般地，对于函数yfx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值
1
f时，fxTfx都成立，那么就把函数yfx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明，一般都是指它的最小正周期3任意角的正弦值的符号（1）图形表示：各象限正弦函数符号，如图143所示
图143（2）表格表示α的终边x非负半轴第一象限y非负半轴第二象限x非正半轴第三象限y非正半轴第四象限4正弦函数的图像和性质1图像：如图144所示si
α00
图1442性质函数性质定义域当x2kπ值域［1，1］ysi
xR
k∈Z时，y取最大值12当x2kπk∈Z时，y取最小值12
2π奇函数
周期奇偶性增区间单调性减区间5诱导公式xαπα［
2kπ2［2kπ2
πα
2kπ］k∈Z232kπ］k∈Z2
2πα2kπαk∈Z
2
fsi
x
si
α
si
α
si
α
si
α
si
α
知识导学1复习初中学过的锐角的正弦函数，本节是锐角的正弦函数的补充和延伸2任意角的正弦值的符号记忆口诀：“上正下负”其含义是终边在x轴上方的任意角正弦值为正，在x轴下方的任意角正弦值为负3诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”其含义是：α，π±α，2πa，2kπαk∈Z的正弦函数值等于α的正r