二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程axbxc0根的分布情况
2
设方程axbxc0a0的不等两根为x1x2且x1x2，相应的二次函数为fxaxbxc0，
2
2
方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10x2
x1
0x20
x1
0x20
大致图象（
a0
）
得出的结论
大致图象（
a0
）得出的结论综合结论（不讨论
a
）
1
f表二：（两根与k的大小比较）
分布情况
两根都小于k即
x1kx2k
两根都大于k即
x1kx2k
一个根小于k，一个大于k即
x1kx2
大致图象（
a0
）
得出的结论
大致图象（
a0
）
得出的结论
综合结论（不讨论
a
）
2
f表三：（根在区间上的分布）
分布情况大致图象（
a0
两根都在m
内
两根有且仅有一根在m
内
一根在m
内，另一根在pq
（图象有两种情况，只画了一种）内，m
pq
）
得出的结论
大致图象（
a0
）
得出的结论
综合结论（不讨论
a
）
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m
外，即在区间两侧x1mx2
，（图形分别如下）需满足的条件是
3
f（1）a0时，
；
（2）a0时，
根的分布练习题
例1、已知二次方程2m1x2mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
2
解：由
，从而得2m1f00即2m1m10
12
m1即为所求的范围。
例2、已知方程2xm1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。
2
解：由
0m1022f00

m128m0m1m0
m322或m322m0

0m322或m322即为所求的范围。
例3、已知二次函数ym2x2m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实
2
数m的取值范围。解：由
m2f10即m22m10

2m
12
即为所求的范围。
例4r