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20102011学年度第一学期南通市六所省重点高中联考试卷试题（数学Ⅱ试题（附加题）
小题，题中选做两小题如果多做，一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做两小题，如果多做，则按所做的前两题选答题：．．．．．记分，每小题10分，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步．．．．．．．骤．1．（选修41：几何证明选讲）来源ZxxkCom如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．B（1）求证：PM2PAPC；来源ZxxkCom（2）若⊙O的半径为23，OA3OM，求MN的长．
CMOANP
2解：（1）由条件得矩阵M0
0，来源ZxxkCom310它的特征值为2和3，对应的特征向量为及；01………5分
（第1题）
121（2）M0
0x2y21在M1的作用下的新曲线的方程为x2y21．…10分，椭圆1493
2（选修42：矩阵与变换）设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵M1以及椭圆
x2y21在M1的作用下的新曲线的方程．49
3．（选修44：不等式选讲）设a，b，c均为正实数．（1）若abc1，求a2b2c2的最小值；111111（2）求证：≥．2a2b2cbccaab
4．（选修44：坐标系与参数方程）
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已知椭圆的长轴长为6，焦距F1F242过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设
∠F2F1Mα0≤απ当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）
解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为极轴建立极坐标系（如图）这里a3c22∴b1p所以椭圆的极坐标方程为：
a2222cec43
………………………2分NF
MαFx
ep1………………………４分ρ1ecosθ322cosθ设M点的极坐标为ρ1α，N点的极坐标为ρ2απ，………………５分
MNρ1ρ2由MN1322cosα1322cosαπ698cos2α
π6335π2得，2αcosα±cos又0≤απ，所以α或αLL10分2426698cosαx2解法二：设椭圆的方程为y21，其左焦点为220，直线MN的参数方程为：9r