度的积分公式
4R
并证明B0
Br

04

J
rR3
R
d

解BrAr0Jrd0Jrd0Jr1d
4R
4
R
4
R
0
4

Jr
RR3

d



04

J
rR3
R
d


BAr0
55有一电流分布JrezrJ0ra，求矢量位Ar和磁感应强度Br。解由于电流只有ez分量，且仅为r的函数，故Ar也只有ez分量，且仅为r的函数，即ArezAzr。在圆柱坐标系中，由Azr满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出Ar，然后由BrAr可求出Br。
记ra和ra的矢量位分别为A1r和A2r。由于在ra时电流为零，所以
2
Az1r

1r
r
r
Az1r


0
J0r
（ra）
f由此可解得
2
Az2
r

1r
r
r
Az2r


0
（ra）
Az1
r



19
0
J
0r
3

C1
l

r

D1
Az2rC2l
rD2Az1r和Az2r满足的边界条件为
①r0时，Az1r为有限值
②
r

a
时，
Az1a

Az2
a
，
Az1r
ra

Az2r
ra
由条件①、②，有
由此可解得故
C1

0，
19
0J0a3

C2
l

a

D2
，
13
0J0a2

C2
1a
C2


13
0J0a3，
D2


13
0
J
0
a3

13

l

a
Az1r


19
0
J0r3

D1
（ra）
Az
2
r



13
0
J
0
a3
l

r

13
0
J
0
a3

13

l

a
（ra）
式中常数D1由参考点确定，若令r0时，Az1r0，则有D10。
zPxyz
r

a
b
y
Ix
题56图
空间的磁感应强度为
B1r


A1r

e
13
0J0r2
（ra）
B2r


A2r

e
0J0a33r
（ra）
56如题56图所示，边长分别为a和b、载有电流I的小矩形回路。
（1）求远处的任一点Pxyz的矢量位Ar，并证明它可以写成
Ar

0pmr4r3
。
其
中pmezIab；（2）由A求磁感应强度B，并证明B可以写成
fB0Id4
式中d

abezerr2
场点对小电流回路所张的立体角。
解（1）电流回路的矢量位为
Ar0I1dl
4CR
式中：Rxx2yy2z212r22rsi
xcosysi
x2y212
根据矢量积分公式dldS，有
C
S
1dldS1
CR
S
R
而
11
R
R
所以
Ar0IdS1
4S
R
对于远区场，rxry，所以Rr，故
Ar


0I4
S
d
S1r


04
I
S
d
S1r


04
ez
Iab


1r


04
pm


rr3


0pmr4r3
（2）由于
Ar04
pmez


rr3

e
0pm4
si
r2
故
B
Aer
1rsi


si
Ae
1rr
rA
0pm4r3
er2cos
e
si

又由于故
57
er
2cos

e
si


r
3
cosr2


r
3
ezerr2

B


0pm4

ezerr2



0I4

abezerr2



0I4
d


半径为a磁介质球，具有磁化强度为
MezAz2B其中A和B为常数，求磁化电流和等效磁荷。
r