第3讲立体几何中的向量方法
考情解读1以多面体特别是棱柱、棱锥或其组合体为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第1问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题2以多面体特别是棱柱、棱锥或其组合体为载体，考查空间角主要是线面角和二面角的计算，是高考的必考内容，属中档题3以已知结论寻求成立的条件或是否存在问题的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．
1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a＝a1，b1，c1．平面α、β的法向量分别为μ＝a2，b2，c2，v＝a3，b3，c3以下相同．1线面平行l∥αa⊥μaμ＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝02线面垂直l⊥αa∥μa＝kμa1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc23面面平行α∥βμ∥vμ＝λva2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc34面面垂直α⊥βμ⊥vμv＝0a2a3＋b2b3＋c2c3＝02．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l，m的方向向量分别为a＝a1，b1，c1，b＝a2，b2，c2．平面α、β的法向量分别为μ＝a3，b3，c3，v＝a4，b4，c4以下相同．1线线夹角设l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，则cosθ＝aabb＝a21＋a1ab221＋＋bc211b2a＋22＋c1bc222＋c222线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤2π，则si
θ＝aaμμ＝cos〈a，μ〉
f3面面夹角设半平面α、β的夹角为θ0≤θ≤π，则cosθ＝μμvv＝cos〈μ，v〉提醒求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到平面α的距离：
→d＝PM
其中
为α的法向量，M为α内任一点
热点一利用向量证明平行与垂直例1如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明：1OM∥平面BCF；2平面MDF⊥平面EFCD思维启迪从A点出发的三条直线AB、AD，AE两两垂直，可建立空间直角坐标系．证明方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A000，B1，00，C110，D010，
F101，M12，0，0，O12，12，121O→M＝0，－21，－12，B→A＝－100，
∴O→MB→A＝0∴O→M⊥B→A∵棱柱ADEBCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴B→A是平面BCF的一个法向量，且OM平面Br