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复变函数与积分变换
修订版主编马柏林
复旦大学出版社
课后习题答案
f习题一
1用复数的代数形式aib表示下列复数
π43513
243711iieiiiii

①解i4
πππ2222ecosisi
ii442222

②解
35i17i35i1613i
7i1
17i17i2525
③解2i43i834i6i510i④解
31i13
35iii1i222
2求下列各复数的实部和虚部zxiy
zaaza∈3
3
3131322
iizi
①∵设zxiy
则
22
iiiiiixayxayxyaxayzazaxyaxayxay
∴
222
2
2
Rezaxayzaxay
22
2Imzaxyzaxay
②解设zxiy∵
3
2
3
2
2
222222
3223iii2ii22i
33i
zxyxyxyxyxyxyxxyxyyxyxyxxyxyy∴
332
Re3zxxy
323Im3zxyy
③解∵

3
3
2
3
2
1i31i3113133133288



1
80i18

∴1i3Re12
1i3Im02④解
∵

2
3
3
23
1313
3133i1i328


1
80i18

∴1i3Re12

1i3Im02
⑤解∵1
2i211i
k

k
kk
k∈
∴当2
k时Rei1k
Imi0
当
21
k时
Rei0

Imi1k

3求下列复数的模和共轭复数
123232
2
i
iii①解2i415
2i2i
②解33
33
③解2i32i2i32i51365
2i32i2i32i2i32i47i
④解
1i1i2
222
1i11i
222i
4、证明当且仅当zz时z才是实数
证明若zz设izxy
则有iixyxy从而有2i0y即y0∴zx为实数
若zxx∈则zxx
f∴zz
命题成立
5、设zw∈证明zwzw≤
证明∵
2
zwzwzwzwzw

2
2
2
2
2Rezzzwwzww
zzwzwwzw
zw
22
2
2
2
22zwzw
zwzwzw≤
∴zw
zw≤
6、设zw∈证明下列不等式
2
2
2
2Rezwzzww
2
2
2
2Rezwzzww

22
22
2zwzwzw
并给出最后一个等式的几何解释
证明
2
2
2
2Rezwzzww在上面第五题的证明已经证明了
下面证
2
2
2
2Rezwzzww
∵
22
2
zwzwzwzwzwzzwwzw

2
2
2Rezzww从而得证
∴
2
2
22
2zwzwzw
几何意义平行四边形两对角线平方的和等于各边
的平方的和
7将下列复数表示为指数形r