第一章多项式
一、习题及参考解答
1．用gx除fx，求商qx与余式rx：
1）fxx33x2x1gx3x22x1；
2）fxx42x5gxx2x2。
解1）由带余除法，可得qx1x7rx26x2；
39
99
2）同理可得qxx2x1rx5x7。
2．mpq适合什么条件时，有
1）x2mx1x3pxq，
2）x2mx1x4px2q。
解1）由假设，所得余式为0，即p1m2xqm0，
所以当

p

1

m
2

0时有x2

mx
1
x3

pxq。
qm0
2）类似可得
m2pm2
q
1
p

m2

00
，于是当
m

0
时，代入（2）可得
p

q
1
；而当
2pm20时，代入（2）可得q1。
综上所诉，当

mp
q
0
1
或

p
q1m2
2
时，皆有
x2

mx
1
x4

px2

q
。
3．求gx除fx的商qx与余式：
1）fx2x55x38xgxx3；
2）fxx3x2xgxx12i。
解1）qx2x46x313x239x109；rx327
2）qxx22ix52i。rx98i
f4．把fx表示成xx0的方幂和，即表成c0c1xx0c2xx02c
xx0
L的形式：1）fxx5x01；2）fxx42x23x02；3）fxx42ix31ix23x7ix0i。解1）由综合除法，可得fx15x110x1210x135x14x15；
2）由综合除法，可得x42x231124x222x228x23x24；
3）由综合除法，可得x42ix31ix23x7i
75i5xi1ixi22ixi3xi4。
5．求fx与gx的最大公因式：
1）fxx4x33x24x1gxx3x2x1；
2）fxx44x31gxx33x21；
3）fxx410x21gxx442x36x242x1。
解1）fxgxx1；
2）fxgx1；
3）fxgxx222x1。
6．求uxvx使uxfxvxgxfxgx。
1）fxx42x3x24x2gxx4x3x22x2；
2）fx4x42x316x25x9gx2x3x25x4；
3）fxx4x34x24x1gxx2x1。
解1）因为fxgxx22r2x
再由

fg
xx

q1xgxq2xr1x

r1r2
xx
，
f解得r2xgxq2xr1xgxq2xfxq1xgx，q2xfx1q1xq2xgx
于是uxq2xx1
。
vx1q1xq2x11gx1x2
2）仿上面方法，可得fxgxx1，且ux1x1vx2x22x1。
33
33
3）由fxgx1可得uxx1vxx3x23x2。
７．设fxx31tx22x2u与gxx3tx2u的最大公因式是一个二次多项式，求tu的值。解因为fxq1xgxr1xx3tx2ux22xu，
gxq2xr1xr2x
xt2x22xuu2t4xu3t，
且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式r2x为0，即
u2t

u3
t
40
0
，
r