稳定性分析
45稳定性分析
45稳定性分析
频率法中对系统稳定性的分析是应用奈奎斯特Nyquist判据进行的。奈奎斯特判据是根据控制系统的开环频率特性判断闭环系统是否稳定的判据。应用奈奎斯特判据不仅能解决系统是否稳定的问题而且还能了解系统稳定的程度并找出改善系统动态特性的途径。因此奈奎斯特判据是频域分析的基础。
451映射定理
设Fs是一个单值解析的复变函数。对于s平面上一条不通过任何奇点的封闭曲线C在Fs平面上必有一条封闭的曲线与之对应该封闭曲线是曲线
C的映射。如果s平面上的封闭曲线C内部包含了Fs的P个极点和Z个零点且动点s是沿顺时针方向在封闭曲线上变化的则在Fs平面上相应的封闭曲线包围坐标原点的周数和方向可以表示为
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式中N是包围原点的周数若N0则表示顺时针包围Fs平面的原点若N0则逆时针包围Fs平面的原点若N0则不包围Fs平面的原点。这里不对映射原理进行证明。对此有兴趣的读者可以参阅其他有关书籍。
452奈奎斯特判据
映射原理为判断控制系统的稳定性提供了依据。设
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根据控制系统的稳定的充分必要条件若系统稳定则s平面右半边没有闭环极点既没有特征方程的根。特征方程的根就是函数Fs的零点。Fs的极
点则与开环传递函数的极点相同。若Fs曲线是已知封闭曲线则可以确定
Fs包围原点的周数及包围原点的的方向又因为Fs与开环传递函数的极点相同所以可以根据开环传递函数确定s平面上封闭曲线C所包含的Fs极点数P。按照映射原理s平面上的封闭曲线C所包含的Fs的零点数即可确定。问题的关键是在s平面上找到一条能包围整个s平面的右半边的封闭曲线。这条曲线就是奈奎斯特轨迹。
1奈奎斯特轨迹
奈奎斯特轨迹是由整个虚轴和位于s平面右半边的半径为无穷大的半圆构成的
封闭曲线动点s在曲线上顺时针方向移动。图420时奈奎斯特轨迹的示意图。奈奎斯特轨迹不能通过的任何零点和极点。
f奈奎斯特轨迹是s平面上的一条封闭曲线而与之对应的函数在复平面上是一条什么样的封闭曲线呢我们把奈奎斯特轨迹划分为两部分一部分是半径为无穷大的半圆另一部分是整个虚轴。现在来分析这两部分在平面上的映射。
当s趋近于无穷大时由于开环传递函数分母的阶次
一般都大于分子的阶次m所以有
常量
若
m则上面的常量为1若
m则为其他常量。总之s平面上奈奎斯特轨迹的无穷大半圆在平面上的映射是实轴上的一个点。
当动点s在奈奎斯特轨迹上的另一部分即整个虚轴上由负无穷大向无穷大变化时由于所以有
其中的正是开环频率特性。所r