补充：
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圆内接四边形判定方法4．相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且满足PAPCPBPD，则四边形ABCD有一外接圆5．切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD一双对边AB与DC交于点P且满足PAPCPBPD，则四边形ABCD有一外接圆这样我们就补充了两种判定方法
例（射影定理）：RTΔABC中，BC是斜边，AD是斜边上的高则
1AD2BDCD2AB2BDBC3AC2CDBC
证明：
如图，延长AD至A，使ADDA，连ABAC则ΔABCΔABC因此BACBAC180因此A，B，C，A四点共圆
（1）由相交弦定理有：
ADDAAD2BDCD
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（2）（3）
23同理，现证3作RTΔADB的外接圆，则RTΔADB的外接圆圆心为E其中E是AB的中点则EAAC，因此AC是圆ABD的切线由切割线定理有CA2CDCB
例2：垂心
ΔABC中，三边所在的高的所在的直线交于一点
证明：
设BE与CF交于H，连AH延长交BC于D即证ADBC因为BECBFC90，因此B，F，E，C四点共圆同理A，F，H，E四点共圆所以BHD180AHFBHF180AEFEHC180BAC因此H，D，E，C四点共圆由此HDC90
3．Miquel定理之前1，2的重要定理都是讨论关于点共圆的情况。那么反过来，圆共点的情况
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又如何？从最简单的开始了解，在本文之后讨论圆共点问题中，甚至其他类型的问题，Miquel定理都给予莫大的便利，我们将要不止一次地用到它。先看一个事实：
如图，ΔABC中，AD，BE，CF分别是三边上的高，则分别以AEF，BDF，CDE作圆这三个圆共于一点，而且可以通过观察，这个点就是垂心刚好是AD，BE，CF的交点在介绍Miquel定理之后，我们将会给这题与垂心一个阐释Miquel定理：ΔABC中，X，Y，Z分别是直线AB，BC，AC上的点，则
AXZBXYCYZ共于一点O
这样的点O称为X，Y，Z对于ΔABC的Miquel点
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证明：
如图，设AXZ与BXY交于O，连OX，OY，OZ即问题转化为证O，Z，Y，C四点共圆因为A，X，O，Z与B，X，Y，O为两组四点圆则AZO180AXOBXO180BYOOYC即OZCOYC180因此O，Z，Y，C四点共圆
事实上这个证明隐含着对一般证圆共点的方法
在发掘Miquel定理的证明方法时可以得到一种更一般的证题方法
注意这个证明只在X，Y，Z在AB，BC，AC边上时可以
当在直线AB，BC，AC上时需要改一下，这里略去了。
现在回到之前关于垂心的问题。为什么D，E，F关于ΔABC的Miquel点就是ΔABC
的垂心
证明：
如图，AD，BEr