学校：贵阳学院系别数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：09应数班科目：数学分析选讲老师：姚老师姓名：郑刚学号：090501401007
f浅谈导数与微分
一、引言我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，那我就分别从导数和微分的定义与应用来讨论它们的联系与区别。
二、导数的定义1函数在一点处可导的概念
定义
【1】
设函数yfx在x0的某个邻域内有定义．对应于自变量x
在x0处有改变量x，函数yfx相应的改变量为yfx0xfx0，若这两个改变量的比
yx
fx0xfx0

x
当x0时存在极限，我们就称函数yfx在点x0处可导，并把这一极限称为函数yfx在点x0处的导数或变化率，记作y或dy
dx
xx0
xx0
或fx0
或dfx
dx
xx0
．即
0
yxx
fx0lim
yx
x0
lim
fx0xfx0
x0
x
比值
yxx
0
yx
表示函数yfx在x0到x0x之间的平均变化率，导数
则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数yfx在点x0
处的变化的快慢．如果当x0时y的极限不存在，我们就称函数yfx在点x0
x
处不可导或导数不存在．在定义中，若设xx0x，则21可写成fx0lim
fxfx0xx0

xx0
f根据导数的定义，求函数yfx在点x0处的导数的步骤如下：第一步：求函数的改变量yfx0xfx0；第二步：求比值y
x
fx0xfx0
x
；
第三步：求极限fx0lim
yx
．
x0
例1求yfxx2在点x2处的导数．解
yf2xf22x2224xx2；
yx
4xx
2
x
4x；
x0
lim
yx
lim4x4．
x0
所以yx24．
注
【1】
：当
x0
lim
fx0xfx0


x
0
存在时，称其极限值为函数yfx在
x0
点x0处的左导数，记作fx；当
lim
fx0xfx0


x
0
存在时，称其极
限值为函数yfx在点x0处的右导数，记作fx．据极限与左、右极限之间的关系fx0存在fxfx，且fxfxfx0．
0000
2导函数的概念如果函数yfx在开区间ab内每一点处都可导，就称函数yfx在开区间ab内可导．这时，对开区间ab内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数fx0，这样就在开区间ab内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为fx的导函数，记作等fx或y等．根据导数定义r