第11课时立体几何趣题球在平面上的投影教学要求：明白球在不同光照下的投影教学过程：放在水平面上的球与水平面切于点A，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线切点A与轮廓曲线的关系又是什么一、平行光线下球的投影放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点止，与水平面所成角为的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆．分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即时，球在00水平面上的投影是以为A圆心，R为半径的圆；当时，球在水平面上的投影是以A为一个焦点的椭圆，如图1．如图l所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O，则光线在水平面上的l投影，可以看成圆柱面与水平面的交线，设与水平面平行且与球相切的平面与球相切1ll’’于点D，与圆柱面的交线为；P为上的任意一点，经过点P的光线为PP，P，为光线21’PP与平面的交点，且与球相切于点C，过点D作与光线平行的直线交水平面于点B，连2R’’’结PB易知，PBPDPC，PAPC即知PAPBPP又
fPP为一定值，则知点P在以长轴长为的椭圆上，
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2RAB为焦点，
二、点光源下的球的
投影放在水平面上的半径为R的球与水平面切于点A，与水平面距离为h的点光源SS在球面外投射到球上，则球在水平面上的投影是以A为一个焦点的圆锥曲线或以A为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h及SA与水平面所成角有关．1．当过点S，球心O的直线与水平面垂时，此时必有h2R．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆图略，2．当过点S、球心O的直线与水平面不垂直时．
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①若h2R，则球在水平面上的投
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影是以A为一个焦点的椭圆，如图2．
如图2所示，与球相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆；球与圆13O
锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆，与水平面的切点为B；P为球在水平2O面的投影线上的任意一点，过P的光线与球O、的切点分别为D，C，则有PCPB、PDPA，1易知CD为两圆锥母线之差为一定值．即PAPBCD定值，所以，球在水平面上的投影是以A、B为焦点的椭圆②若h2R则球在水平面上的投影是以A为焦点的抛物线，如图3．如图3所示，与球O相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol；过S、O，A的平面与水平面交于AG；圆Ol所在的平面与水平面的交线为L；P为球在水平面的投影线上的任意
一点，过P与平行的平面与圆圆O锥面交于所以，球在水平面上的2投影r