第3讲立体几何中的向量方法
1．2014课标全国Ⅱ直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为
A110
B25
C
3010
D
22
答案C解析方法一由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1建立如图1所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A000，B220，M112，N012，∴B→M＝112－220＝－1，－12，A→N＝012．∴cos〈→BM，→AN〉＝B→B→MMA→A→NN
－1＋4
3
30
＝
－1
2＋
－1
2＋22×
02＋12＋22＝
6×
＝5
10

方法二如图2，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN12B1C1BD，因此有NDBM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝6，AN＝5，AD＝5，因此cos∠AND＝ND22＋NDNA2－NAAD2＝13002．2016课标全国乙如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°
1证明：平面ABEF⊥EFDC；
f2求二面角E－BC－A的余弦值．1证明由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC2解过点D作DG⊥EF，垂足为G，由1知DG⊥平面ABEF以点G为坐标原点，→GF的方向为x轴正方向，→GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz
由1知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝3，可得A140，B－340，E－300，D00，3．由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C－20，3．所以→EC＝10，3，E→B＝040，→AC＝－3，－4，3，A→B＝－400．
E→C＝0，设
＝x，y，z是平面BCE的法向量，则
E→B＝0，即x4＋y＝03z＝0，所以可取
＝30，－3．
mA→C＝0，设m是平面ABCD的法向量，则m→AB＝0同理可取m＝0，3，4，则cos〈
，m〉＝
mm＝－21919故二面角E－BC－A的余弦值为－21919
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上
f热点一利用向量证明平行与垂直
设直线l的方向向量为a＝a1，b1，c1，平面α，β的法向量分别为μ＝a2，b2，c2，v＝a3，b3，c3则有：1线面平行l∥αa⊥μaμ＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝02线面垂直lr