M09C002
巧证妙用
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【知识要点】
本节内容涉及到特殊的三角形，主要有直角三角形，等腰三角形和等边三角形．Ⅰ．三角形的分类1．按边分类
非等腰三角形三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形等边三角形
2．按角分类
直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形
Ⅱ．基本定理1．直角三角形：勾股定理．30角所对的直角边是斜边的一半；斜边上的中线是斜边的一半．2．等边三角形：拥有等腰三角形的所有性质；三边相等；三内角均为60．3．等腰三角形：等边对等角；等角对等边；“三线合一”
三大定理：
1．等腰三角形三线合一定理：“三线”指顶角的平分线，底边的高，底边的中线2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3．三角形中位线定理：三角形的任意一条中位线平行于第三边且等于第三边的一半Ⅲ．基本方法倍长中线法；遇中点连中位线；构造等边、等腰和全等；几何变换法；面积法；等等
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【典型例题】
例1．如图，已知CE、CB分别是ABCACD的中线，且ABAC，求证：CD2CE．C
A
E
B
D
例题分析：在遇到有三角形中线的问题时，可采用倍长中线法，可以得到线段相等和平行。例2．如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边上BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE12，CF5，求EF的长．
B
DEAFC
例题分析：在直角三角形中作斜边上的中线，利用其性质解题例3．已知：四边形ABCD中，AB∥CD，∠1∠2，∠3∠4，求证：BCAB＋CD．
A1B234CED
例题分析：互补两角的角平分线相交所组成的角为90°。在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。梯形中位线等于上下底之和的一半。
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例4．已知：如图，ABAC，∠BAC90°，∠1∠2，CE⊥BE，求证：BD2CE．
AD1BE
2
C
例题分析：有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．例5．已知：如图，AD为ABC的中线，AEEF求证：BFAC
AEFBDC
例题分析：有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．例6如图，已知∠BAC110，MN、PN是AB、AC的中垂线，交BC于点E、F，求∠EAF
AMBPC
0
E
F
N
3
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课堂练习
1．在ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB过点D的直线EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F．求证：EFBECF．
A
EB
D
FC
2．ABC是等边三角形，D是BC中点，DE⊥AC，E是垂足．求证：AB4CE．
A
EBDC
3．如图，在ABC中，ACBC，点DE分别在ABr