重庆大学2008年硕士研究生入学考试试题
科目代码：科目代码：618科目名称：数学分析科目名称：名称
特别提醒考生：特别提醒考生：答题一律做在答题纸上（包括填空题、选择题、改错题等）答题一律做在答题纸上（包括填空题、选择题、改错题等）直接，做在试题上按零分记。做在试题上按零分记。
一、（12分）设a
和b
是两个数列，a，b是两个实数。（1）叙述lima
a的定义；
→∞
（2）设lima
alimb
b且ab证明存在正整数N0当
N时a
b
。
→∞
→∞
二、（12分）（1）叙述有限覆盖定理；（2）利用有限覆盖定理证明若fx在闭区间a，b连续，则fx在ab有界。三、（12分）设二元函数
1，y∈xy∈R20yx2xfxy2220，y∈Rxy∈R0yxx




证明：fxy在00点极限不存在。四、（12分）如果二元函数fxy存在偏导数，但是不可微，那么复合函数的导数公式
dffdxfdy，其中：xxt，yyt（可导）dtxdtydt
xyx2y2≠022为例进行研究。是否成立？以函数fxyxy220xy0
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f五、（12分）设函数fx在0M1上连续M0，记
xx1f
x
∫
ftdt∫ftdt，x∈0M00
证明：f
x在0M上一致收敛于fx。六、（12分）计算不定积分：∫
Σ
xdx（常数α≠kπ，k∈Z）。x2xcosα1
2
七、（12分）计算积分∫∫x3dydzy3dxdzz3dxdy。其中，Σ为上半单位球外表面。八、（14分）设函数fx在闭区间a，b上可微，fa0。若存在常数α0，使得
f′x≤αfx，x∈ab
证明：（1）当0α1时，fx≡0，x∈ab；（2）对于任意α0，fx≡0，x∈ab。九、（12分）讨论广义积分∫0
∞
si
xdx的绝对与条件收敛性。其中，λ为实常数。xλ
十、（14分）设函数fx在区间0∞上可微，且f′x≥K0。证明：（1）limfx∞；
x→∞
（2）∑
1收敛。2
11f

∞
十一、（12分）设数列x
1十二、（14分）
1111L2
，证明：limx
存在。234
→∞
（1）叙述函数fx区间ab上可积的第一充要条件；（2）设函数列f
x在ab上定义，且f
x在ab上一致收敛于fx。证明：若f
x在ab上可积，则fx在ab上可积。
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