2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题含答案
一、选择题
1．设随机向量（X，Y）联合密度为
8xy0xy1
fxy0
其它
（1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fXx，fYy；
（2）判断X，Y是否独立，并说明理由。
解：（1）当x0或x1时，fXx＝0；
当0≤x≤1时，fXx＝

fxydy

1
8xydy

4x

y
2
x
1x4x1x2
4x4x30x1
因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fXx＝0
其它
当y0或y1时，fYy＝0；
当0≤y≤1时，fYy＝

fxydx

y8xydx4yx2
0
0y4y3
4y30y1
因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fYy＝0
其它
（2）因为f1212＝2，而fX12fY12＝3212＝34≠f1212，
所以，X与Y不独立。
2．已知连续型随机变量X的分布函数为
0FxAx1
x00x1
x1
求（1）A；（2）密度函数fx；（3）P0X025。
解
FxA
1
x1
A（2）
f
x

F
x

2
1
x

x
0
其他
：

f3P（0X025）12
3．已知连续型随机变量X的密度函数为
f

x

2x2

0
x0a其它
求（1）a；（2）分布函数Fx；（3）P－05X05。
解


a
fxdx

0
2x2dx

1
a
（2）当x0时，
x
Fxftdt0

当0x时，Fx
x
ftdt

x0
2t2
dt

x22
当x时，
x
Fxftdt1

0
故
F

x


x22

1
x00x
x
13P（05X05）F05F0542
：

4．设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，且L1L2的寿命分别服从参数为
的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。
解：令XY分别为子系统L1L2的寿命，则系统L的寿命Z＝maxXY。
显然，当z≤0时，FZz＝PZ≤z＝PmaxXY≤z＝0；
当z0时，FZz＝PZ≤z＝PmaxXY≤z
＝PX≤zY≤z＝PX≤zPY≤z＝
zexdx
0
z0
e

y
dy
＝
1

e
z
1

e

z

。
因此，系统L的寿命Z的密度函数为
f
Z
z＝
ddz
FZ
z

ez0

ez


ez
z0z0
5．随机向量（XY）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为
f


12
V




21
1
2
1

22
2r