2008北京大学自主招生数学试题
512
1求证边长为1的正五边形对角线长为
B1x
12xD1x5E3
A
x
x
4C
略解三角形ABE∽三角形DAE
x1x1x51则x2对角线AC1x512
2
已知六边形AC1BA1CB1中AC1AB1BC1BA1CA1CB1∠A∠B∠C∠A1∠B1∠C1求证△ABC面积是六边形AC1BA1CB1的一半
4
fB1
CA
P
C1
A1
B
略解如图得证3已知
a1a2a3b1b2b3a1a2a2a3a3a1b1b2b2b3b3b1mi
a1a2a3≤mi
b1b2b3求证maxa1a2a3≤maxb1b2b3
4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队胜得1分败得0分解设北方球队共有x支则南方球队有x9支
2所有球队总得分为C2x9
2x92x82x9x42
南方球队总得分为
92x92x89x9x4102102x9x410
2
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分Cx9
北方球队内部比赛总得分Cx
2
4
f2x9x4xx1≥0102
解得
11229112291116≤x≤9333
因为
2x9x4为整数10
x6或x8当x6时
2所有球队总得分为C2x9
2x92x82x9x42102
南方球队总得分为
92x92x89x9x4189102102x9x42110
2
北方球队总得分为
南方球队内部比赛总得分Cx9105
北方球队内部比赛总得分Cx15北方胜南方得分21156北方球队最高得分5611因为11×15165189所以南方球队中至少有一支得分超过11分冠军在南方球队中当x8时
2所有球队总得分为C2x9
2
2x92x82x9x43002
南方球队总得分为
92x92x89x9x427010210
4
f北方球队总得分为
2x9x43010
2
南方球队内部比赛总得分Cx9136
北方球队内部比赛总得分Cx28北方胜南方得分30282北方球队最高得分729因为9×17153270所以南方球队中至少有一支得分超过9分冠军在南方球队中综上所述冠军是一支南方球队5理科OXYZ坐标系内xoy平面系内0≤y≤2x绕y轴旋转一周构成一个不透光立
2
2
体在点101设置一光源xoy平面内有一以原点为圆心的圆C被光照到的长度为2π求C上未被照到的长度
4
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