线性代数（经管类）考点第一章行列式
（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质
上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数
1．二阶行列式
规则为
由
4
个数
aij
i
j

12
得到下列式子：
a11a21
a12称为一个二阶行列式，其运算a22
a11a21
a12a22
a11a22a12a21
2．三阶行列式
a11a12a13由9个数aijij123得到下列式子：a21a22a23
a31a32a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念
3．余子式及代数余子式
设有三阶行列式
a11a12a13D3a21a22a23
a31a32a33
对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序
组成一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，记成Mij
例如
M11

a22a32
a23a33
，M21

a12a32
a13a33
，M31

a12a22
a13a23
再记Aij1ijMij，称Aij为元素aij的代数余子式
例如A11M11，A21M21，A31M31
那么，三阶行列式D3定义为
a11a12a13D3a21a22a23a11A11a21A21a31A31
a31a32a33
1
f我们把它称为D3按第一列的展开式，经常简写成
3
3
D3ai1Ai11i1ai1Mi1
i1
i1
4．
阶行列式
一阶行列式D1a11a11

阶行列式
a11a12a1

D


a21a22a2

a11A11a21A21a
1A
1
a
1a
2a

其中Aijij12
为元素aij的代数余子式
5．特殊行列式
a11a12上三角行列式0a22
a1
a2
a11a22a

00
a110下三角行列式a21a22
a
00
a11a22a

对角行列式
a
1a
2
a1100a22
a
00
a11a22a

（二）行列式的性质
00
a

性质1行列式和它的转置行列式相等，即DDT
性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数
性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号推论1如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零推论2如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零性质4行列式可以按行（列）拆开性质5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一
2
f行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D定理1（行列式展开定理）


阶行列式D

aij
等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式

的乘积的和，即Dai1Ai1ai2Ai2ai
Ai
i12

或Da1jA1ja2jA2ja
jA
jj12

前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为Dr