第八节多元函数的极值
在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有着密切的联系下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题
分布图示
引例★二元函数极值的概念讲义例1、2、3极值的必要条件★极值的充分条件求二元函数极值的一般步骤★例4★例5求最值的一般步骤★例6★例7★例8★例9★例10★例11★条件极值的概念★拉格朗日乘数法★例12★例13★例14★例15★例16※数学建模举例★最小二乘法（讲义例10）★线性规划问题（讲义例11、12）★内容小结★课堂练习★88★返回★★★★
内容要点
二元函数极值的概念：极值的定义极值的必要条件与充分条件一、二元函数极值的概念求zfxy的极值的一般步骤为：第一步解方程组fxxy0fyxy0求出fxy的所有驻点；第二步求出函数fxy的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、B、C的值，并根据
ACB2的符号判定驻点是否为极值点最后求出函数fxy在极值点处的极值
二、二元函数的最大值与最小值求函数fxy的最大值和最小值的一般步骤为：第一步求函数fxy在D内所有驻点处的函数值；第二步求fxy在D的边界上的最大值和最小值；第三步将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值最小者即为最小值三、条件极值拉格朗日乘数法在所给条件Gxyz0下求目标函数ufxyz的极值引进拉格朗日函数拉格朗日函数LxyzλfxyzλGxyz它将有约束条件的极值问题化为普通的无条件的极值问题四、数学建模举例最小二乘法线性规划问题
例题选讲
f二元函数的极值例1函数z2x23y2在点00处有极小值从几何上看z2x23y2表示一开口向上的椭圆抛物面点000是它的顶点图881
例2函数zx2y2在点00处有极大值从几何上看zx2y2表示一开口向下的半圆锥面点000是它的顶点图882
例3函数zy2x2在点00处无极值从几何上看它表示双曲抛物面马鞍面图883例4（E01）求函数fxyxy3x3y9x的极值（）
3322
解
先解方程组解得驻点为10123032
再求出二阶偏导数fxxxy6x6fxyxy0fyyxy6y6
fxxy3x26x90在点10处ACB21260又A02fyr