列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程
f计算方法实验报告1
【课题名称】
用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程
【目的和意义】
高斯消去法是一个古老的求解线性方程组
的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法
则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程
组的有效方法。
用高斯消去法解线性方程组的基本思想时
用矩阵行的初等变换将系数矩阵A约化为具有
简单形式的矩阵（上三角矩阵、单位矩阵等），
而三角形方程组则可以直接回带求解
用高斯消去法解线性方程组Axb（其中A∈R
×

）的计算量为：乘除法运算步骤为
，加减运算MD
1
1
2
1
1
1
3
2

2
6
2
2
3
3
步骤为。相比之AS
1
2
1
1
1
1
2
5
6
2
2
6
下，传统的克莱姆法则则较为繁琐，如求解20
阶线性方程组，克莱姆法则大约要51019次乘法，
而用高斯消去法只需要3060次乘除法。
f在高斯消去法运算的过程中，如果出现absAii等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法，从而使计算结果更加精确。2、列主元三角分解法
高斯消去法的消去过程，实质上是将A分解为两个三角矩阵的乘积ALU，并求解Lyb的过程。回带过程就是求解上三角方程组Uxy。所以在实际的运算中，矩阵L和U可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度
【计算公式】1、列主元高斯消去法设有线性方程组Axb，其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为
a11a12LLa1
Mb1

a21
a22
L
L
a2

M
b2

M
a
b


al1
M
MM

M
MMM


f第1步（k1）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素al1，作为第一步的主元素
al1
max1i

ai1
0
然后交换（A，b）的第1行与第l行元素，再进
行消元计算。
设列主元素消去法已经完成第1步到第k1步的
按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程
组等价的方程组Akxbk

a111


A
b


A
k


b
k








a112
L
a222
L
O
a11k
a22k
akkk
L
akk1k
M
ak
k
L
a11
a22
M
akk
akk1
Mak


MM
b11
b22

MM
M
bk
k


M
bkk1

MM
M
b
k


f第k步计算如下：
对于k1r