，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1t的频谱，然后取极限得出符号函数xt的频谱。
x1t

eat
sg
t

eateat
t0t0
xt


sg
t


lim
a0
x1
t
X1f

x1te
j2
f
tdt

0eatej2ftdt

eeatj2
0
f
tdt


j
a2
4f2
f
2
X

f


F
sg
t

lim
a0
X1
f



j
1f
Xf1f


f


2

2
f0f0
fx1t1
0
t
1
x1teatsg
t符号函数
Xf0
φfπ2
0
f
f
π2
符号函数频谱
b阶跃函数频谱
1t0ut0t0
在跳变点t0处函数值未定义，或规定u012。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法1：利用符号函数
ut11sg
t22
U
f

F
ut
F
12

1F2
sg
t
12
f

12


j1f


12

f

j1f

Uf12

2
f



1f
2
结果表明，单位阶跃信号ut的频谱在f0处存在一个冲激分量，这是因为ut含有直流分量，在预料之中。同时，由于ut不是纯直流信号，在t0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
Uf
φfπ2
0
f
12
π2
0
f
单位阶跃信号频谱
解法2：利用冲激函数
ut
t
d


10
t0时t0时
根据傅里叶变换的积分特性
UfF

t


d


1j2
f

f


12
0

f


12


f


j1f

f15求被截断的余弦函数cosω0t见图126的傅里叶变换。
xt


cos
ω0t
tT
0
tT
xt1
解：xtwtcos2f0t
wt为矩形脉冲信号
Wf2Tsi
c2Tf
T
0
Tt
cos2
f0t

12
eej2f0t
j2f0t
所以xt1wtej2f0t1wtej2f0t
2
2
根据频移特性和叠加性得：
1
wt1
1
1
X
f


Wf2

f0
W2
f

f0
Tsi
c2Tff0Tsi
c2Tff0
T
0
Tt
图126被截断的余弦函数
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
XfT
f0
f0
f
被截断的余弦函数频谱
16求指数衰减信号xteatsi
ω0t的频谱
xt
解答：
指数衰减信号
fsi
0t

12j
eej0t
j0t
所以xteat1
eej0t
j0t
2j
单边指数衰减信号x1teata0t0的频谱密度函数为
X1f

xt1e
jtdt

eatejtdt
0

a
1j

aja22
根据频移特性和叠加性得：
X

12j
X1
0
X1
0

12j

aa2
j002

aj0a202


a2
0a220202a202

j
a2

2a002a2

02
Xω
φωπ
0r