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年上海市高中数学竞赛新知杯2007年上海市高中数学竞赛新知杯试卷
2007年3月25日星期日上午8301030【说明】解答本试卷不得使用计算器一填空题本题满分60分前4题每小题7分后4小题每小题8分1方程
x112x243x39
1x1x2x32
的
实
数
解
x1x2x3_______________
2有一条长度为1的线段EF其端点EF在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动当EF绕着正方形的四边滑动一周时EF的中点M所形成的轨迹的长是_______________3复数数列a
满足a10a
a
1i
≥2i为虚
2
A
D
EB
MFC
数单位则它的前2007项的和为_______________4已知αlβ是大小为45的二面角C为二面角内一定点且到半平面α和β的距离分别为
2和6AB分别是半平面αβ内的动点则ABC周长的最小值为
_______________5已知平面直角坐标系中点与点的对应法则fPm
→P

m


若m≥0
≥0
x2y2一段曲线在对应法则f下对应椭圆的一段弧221x≥0y≥0则这段曲线的方程ab
是________________6已知f
cos

π计算f1f3f2
1_______________4xx
27已知数列x
满足x10x21x
1
≥3则数列x
的通项公式2x
_______________
8已知圆Mx1y34过x轴上的点Pa0存在圆M的割线PBA使得
22
PABA则点P的横坐标a的取值范围是_______________
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二解答题9本题满分14分对任意正整数
用S
表示满足不定方程
111的正整数对xy

xy的个数例如满足
111的正整数对有634436三个则xy2
S23求出使得S
2007的所有正整数
10本题满分14分已知关于x的方程xsi
θsi
θ2x6x40有三个正实根
32
求u
9si
2θ4si
θ3的最小值1cosθ2cosθ6si
θ3si
2θ2
11本题满分16分已知抛物线y2pxp0AB
2
是过焦点F的弦如果AB与x轴所成的角为
θ0θ

π
求∠AOB2
12本题满分16分求满足如下条件的最小正整数
在圆周上任取
个点A1A2…
A
则在C
2个角∠AiOAj1≤ij≤
中至少有2007个不超过120
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