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第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准
一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0v00求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率重力加速度大小为g
v0
参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v分解成纬线切向水平方向分量v及经线切向分量v设滑块质量为m，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P处，P和球心O的连线与水平方向的夹角为由机械能守恒得
O

P
111222mv0mgRsi
mvmv222
1
这里已取球心O处为重力势能零点以过O的竖直线为轴球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故
mv0RmvRcos
由1式，最大速率应与的最大值相对应
2
vmaxvmax
而由2式，q不可能达到π
3
2由1和2式，q的最大值应与v0相对应，即
vmax0
4
4式也可用下述方法得到：由1、2式得
222gRsi
v0ta
2v0
若si
0，由上式得
si
2gR22cosv0
实际上，si
0也满足上式。由上式可知
si
max2gR22cosmaxv0
由3式有
22vmax2gRsi
maxv0ta
2max0
4’
f2
将vmax0代入式1，并与式2联立，得
2v0si
2max2gRsi
max1si
2max0
5
以si
max为未知量，方程5的一个根是si
q
0，即q0，这表示初态，其速率为最小值，不
是所求的解于是si
max0约去si
max，方程5变为
22gRsi
2maxv0si
max2gR0
6
其解为
si
max
2v0g2R2116414gRv0
7
注意到本题中si
0，方程6的另一解不合题意，舍去将7式代入1式得，当max时，
2v
124v0v016g2R22


8
考虑到4式有
2vmaxv
124v0v016g2R22


9
评分标准：本题15分1式3分，2式3分，3式1分，4式3分，5式1分，6式1分，7式1分，9式2分
f3
二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为m（为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动一质量为m的r