亲爱的同学:这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获,我们一直投给你信任的目光……
学习资料专题
31二维形式的柯西不等式
32一般形式的柯西不等式
一、选择题
A级基础巩固
1.函数y=x-5+26-x的最大值是
A3C.3
B5D.5
解析:根据柯西不等式,知y=1x-5+26-x≤
12+22(x-5)2+(6-x)2=5
答案:B
2.已知x,y,z均大于0,且x+y+z=1,则1x+4y+9z的最小值为
A.24C.36
B.30D.48
解析:x+y+z1x+4y+9z≥
x1+x
y2+y
z
3z2=36,
所以1x+4y+9z≥36
答案:C3.已知a,b>0,且a+b=1,则4a+1+4b+12的最大值是
A.26C.6
B6D.12
解析:4a+1+4b+12=14a+1+14b+12≤12+124a+1+4b+1=24a+b+2=24×1+2=12,
当且仅当4a+1=4b+1,即a=b时等号成立.
尚水作品
f答案:D
4.已知a1-b2+b1-a2=1,则以下成立的是
A.a2+b2>1
B.a2+b2=1
C.a2+b2<1
D.a2b2=1
解析:由柯西不等式,得1=a1-b2+b1-a2≤a2+(1-a2)(1-b2)+b2=1,
b
1-b2
当且仅当1-a2=a时,上式取等号,
所以ab=1-a21-b2,
即a2b2=1-a21-b2,
于是a2+b2=1
答案:B
5.已知a21+a22+…+a2
=1,x21+x22+…+x2
=1,则a1x1+a2x2+…+a
x
的最大值为
A.1
B.2
C.-1
D.不确定
解析:因为a1x1+a2x2+…+a
x
2≤a21+a22+…+a2
x21+x22+…+x2
=1×1=1,当且仅当ai=kxii=1,2,…,
时等号成立.
所以a1x1+a2x2+…+a
x
的最大值是1
答案:A
二、填空题
6.函数y=x-1+5-x的最大值是________.
解析:因为x-1+5-x2≤1+1x-1+5-x=8,
当且仅当x-1=5-x,即x=3时,等号成立,所以x-1+5-x≤22,函数y
取得最大值22
答案:227.已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值为________.解析:根据柯西不等式,x2+y2+z2=1312+12+12×x2+y2+z2≥131x+1y+
1z2=13x+y+z2=13,当且仅当x=y=z时等号成立.
1答案:3
8.若函数y=ax+1+6-4x的最大值为25,则正数a的值为________.
解析:ax+1+6-4x2=ax+1+2
32-x2≤a2+4x+1+32-x=52a2+
尚水作品
f4,由已知得52a2+4=20,解得a=±2又因为a>0,所以a=2答案:2三、解答题9.已知m>0,
>0,m+
=p,求证:1m+1
≥4p,指出等号成立的条件.
证明:根据柯西不等式,得1m+1
m+
≥
m1m+
12=4
于是1m+1
≥m+4
r