亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学习资料专题
31二维形式的柯西不等式
32一般形式的柯西不等式
一、选择题
A级基础巩固
1．函数y＝x－5＋26－x的最大值是
A3C．3
B5D．5
解析：根据柯西不等式，知y＝1x－5＋26－x≤
12＋22（x－5）2＋（6－x）2＝5
答案：B
2．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为

A．24C．36
B．30D．48
解析：x＋y＋z1x＋4y＋9z≥
x1＋x
y2＋y
z
3z2＝36，
所以1x＋4y＋9z≥36
答案：C3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则4a＋1＋4b＋12的最大值是
A．26C．6
B6D．12
解析：4a＋1＋4b＋12＝14a＋1＋14b＋12≤12＋124a＋1＋4b＋1＝24a＋b＋2＝24×1＋2＝12，
当且仅当4a＋1＝4b＋1，即a＝b时等号成立．
尚水作品
f答案：D
4．已知a1－b2＋b1－a2＝1，则以下成立的是
A．a2＋b2＞1
B．a2＋b2＝1
C．a2＋b2＜1
D．a2b2＝1
解析：由柯西不等式，得1＝a1－b2＋b1－a2≤a2＋（1－a2）（1－b2）＋b2＝1，
b
1－b2
当且仅当1－a2＝a时，上式取等号，
所以ab＝1－a21－b2，
即a2b2＝1－a21－b2，
于是a2＋b2＝1
答案：B
5．已知a21＋a22＋…＋a2
＝1，x21＋x22＋…＋x2
＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋a
x
的最大值为
A．1
B．2
C．－1
D．不确定
解析：因为a1x1＋a2x2＋…＋a
x
2≤a21＋a22＋…＋a2
x21＋x22＋…＋x2
＝1×1＝1，当且仅当ai＝kxii＝1，2，…，
时等号成立．
所以a1x1＋a2x2＋…＋a
x
的最大值是1
答案：A
二、填空题
6．函数y＝x－1＋5－x的最大值是________．
解析：因为x－1＋5－x2≤1＋1x－1＋5－x＝8，
当且仅当x－1＝5－x，即x＝3时，等号成立，所以x－1＋5－x≤22，函数y
取得最大值22
答案：227．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝1312＋12＋12×x2＋y2＋z2≥131x＋1y＋
1z2＝13x＋y＋z2＝13，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
1答案：3
8．若函数y＝ax＋1＋6－4x的最大值为25，则正数a的值为________．
解析：ax＋1＋6－4x2＝ax＋1＋2
32－x2≤a2＋4x＋1＋32－x＝52a2＋
尚水作品
f4，由已知得52a2＋4＝20，解得a＝±2又因为a＞0，所以a＝2答案：2三、解答题9．已知m＞0，
＞0，m＋
＝p，求证：1m＋1
≥4p，指出等号成立的条件．
证明：根据柯西不等式，得1m＋1
m＋
≥
m1m＋

12＝4
于是1m＋1
≥m＋4
r