5．4　平面向量的坐标运算r
知识要点精讲r
知识点1　平面向量的坐标表示r
在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得r
a＝xi＋yj　①r
我们把（x，y）叫做向量a的直角坐标，记作：a＝（x，y）　②r
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示，与a相等的向量的坐标也为（x，y）．r
解题方法、技巧培养r
出题方向1　求向量的坐标r
（1）已知A（1，3），B（－3，2），求a的坐标；r
（2）已知A（2，－1），a＝（4，1），求B点坐标；r
（3）已知B（－1，2），a＝（5，－2），求A点坐标．r
点拨　只有起点在坐标原点的向量才能用终点坐标表示，其它向量的坐标都要用其终点坐标减去其起点坐标表示．r
出题方向2　向量的坐标运算r
例2　已知a＝（1，2），b＝（3，4），求－2a＋3b，4a－2b的坐标．r
［答案］　∵　－2a＝（－2，－4），3b＝（9，12），r
∴　－2a＋3b＝（－2，－4）＋（9，12）＝（7，8）．r
∵　4a＝（4，8），2b＝（6，8），∴　4a－2b＝（4，8）－（6，8）＝（－2，0）．r
出题方向3　由向量相等则它们的坐标相等来求某些点的坐标r
［答案］　设顶点D的坐标为（x，y），r
点拨　平面向量相等的代数表示沟通了数与形的联系．r
例4　已知向量a＝（3，－2），b＝（－2，1），c＝（7，－4），若c＝ma＋
b，求m，
．r
［解析］　先求ma＋
b，再根据向量相等即向量坐标对应相等，列出方程组求m，
．r
［答案］　ma＋
b＝m（3，－2）＋
（－2，1）＝（3m－2
，
－2m）．r
∵　c＝ma＋
b，∴　（7，－4）＝（3m－2
，
－2m）．r
出题方向4　利用向量共线的坐标表示的充要条件解决有关直线平行、三点共线问题r
例5　已知a＝（2，k），b＝（2k，3k＋1），若a∥b，求k的值．r
［解法二］　∵　a∥b，∴　2（3k＋1）－k（2k）＝0，即k2－3k－1＝0．r
点拨　两种表达式不同，但实质是一样的．r
点拨　在证明必要性时，不需要像证明充分性一样，将A、B、C三点所在直线与坐标轴垂直的情况单独证明，因为那是显然成立的．r
易错易混点警示r
（1）混淆向量坐标与点的坐标是向量坐标运算中常见的错误之一；r
（3）向量平行的充要条件与后面向量垂直的充要条件混淆．r
学法导引r
1．理解向量的坐标表示的含义：向量的坐标表示是向量的一种表示形式r
向量坐标表示的背景是平面向量基本定理；每一个向量都可用唯一一个有序数对来表示：向量的坐标与向量的起点、终点无关，只与起点终点的相r