x
将它们代入方程71得
ｒ２１u＋２r1
dudx

d2udx2
er1xp
dudx
＋r1uer1ｘ＋qｕ
er1ｘ0
f或
［
d2udx2
2ｒ1＋p
du＋r2１＋pｒdx
1quer1x０
因为eｒ１x≠0，且因r1是特征方程的根故有r２1p
ｒ1q0，又因r1－p故有2ｒ1p0于是上式成为2
d2u0dx2显然满足d2u＝０的函数很多，我们取其中最简单
dx2
的一个
ｕ（xｘ
则y２ｘerx是方程（71）的另一个特解且y1，y2
是两个线性无关的函数，所以方程71）的通解是
y＝C１ｅr1xC2xer１x＝C１＋C2x）ｅr１ｘ
3若特征方程72有一对共轭复根r1＝α
iβr２α－iβ
此时方程71有两个特解
y＝ｅα＋ｉβx1
ｙｅ（αiβｘ2
则通解为
ｙＣｅCeα＋iβ）x
α－ｉβx
1
2
其中Ｃ1，C2为任意常数，但是这种复数形式的解，
在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式
f的通解为此利用欧拉公式eix＝cｏｓx＋ｉsiｎxe－ix＝cosｘ－iｓi
ｘ
有
1eix＋eiｘ）＝cosx
2
1（eix－e－iｘ＝sｉ
ｘ2i
1y1＋y２）1eαxeiβｘ＋eiβx
2
2
eαxcｏsβx
1y1ｙ2＝1ｅαx（eiβxeiβｘ）ｅαｘsiｎβx
2i
2i
由上节定理一知1y1ｙ2，1y1－y2是方程
2
2i
（71的两个特解也即eαxcosβxｅαｘsi
βx是方
程71的两个特解：且它们线性无关由上节定理二
知方程71的通解为
y＝C1ｅαxcosβｘC２ｅαxｓi
βx
或
y＝eαx（Ｃ1cosβｘ＋C２ｓi
βx
其中C1Ｃ２为任意常数至此我们已找到了实数形
式的通解，其中α，β分别是特征方程72复数根的
实部和虚部。
综上所述，求二阶常系数线性齐次方程71的通
f解，只须先求出其特征方程７２的根，再根据他的
三种情况确定其通解现列表如下
特征方程r２pｒ＋q０的微分方程d2y＋pdy＋qy
根
dx2dx
０的通解
有二个不相等的实根r1，rｙC1er1xC2er2x
２
有二重根r1r2
yC１＋C2xeｒ1x
有一对共轭复根r1iyeαx（Ｃ1cosβx＋Ｃ2ｓr2ii
βx）
例1求下列二阶常系数线性齐次方程的通解
1d2y＋３dy－1０ｙ＝0
dx2
dx
2d2y－４dy＋4y0
dx2
dx
3d2y＋４dy＋７y0
dx2
dx
解1特征方程r23r10＝0有两个不相等的实
根
r1＝－5，r２＝2
所求方程的通解y＝C1e－5rC２ｅ２x2特征方程r２－4r4＝0有两重根
fr1＝r22
所求方程的通解yC1C2ｘe2x（3）特征方程r2＋４r＋70有一对共轭复根
r123ｉr２＝2－3i所求方程的通解ye－2xC1ｃos3x＋C２sｉ

3x）
§72二阶常系数线性非齐次方程的解法
由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系
数线性非齐次方程
d2yｐdyｑyｆ（ｘdx2dx３
（7
的通解，只要先求出r