向上运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的
图2分析与解设限制点电荷ｑ在与ｘ轴成θ角的ｙ轴上运动．当它受扰动移动到Ｐ点，＝ｙ）时，Ａ、Ｂ两处的点电荷对ｑ的库仑力分别为ｆＡ、
即沿ｙ轴有微小的位移ｙ（ｆＢ．则ｑ在ｙ轴上的合力为ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／由余弦定理知
）ｃｏｓα－ｋ（Ｑｑ／
）ｃｏｓβ，
＝ｒ＋ｙ＋2ｒｙｃｏｓθ，＝ｒ＋ｙ－2ｒｙｃｏｓθ．又由三角形知，ｃｏｓα＝（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／ｃｏｓβ＝（ｒｃｏｓθ－ｙ）／，，
２２３／２２２
２
２
故ｆｙ＝ｋＱｑ（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／（ｒ＋ｙ－2ｒｙｃｏｓθ）－（ｋＱｑ（ｒ２２３／２ｃｏｓθ－ｙ）／（ｒ＋ｙ－2ｒｙｃｏｓθ））．上式已表示出ｆｙ与θ、ｙ间的定量关系．可它们满足的规律并不明显．怎样将合力ｆ
fｙ
与方向角θ、位移ｙ之间的物理规律显现出来由于ｙ很小，故ｙ的二次项可略去，得
ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ），３－３／２即ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－（ｒ－３／２ｃｏｓθ－ｙ）（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）］，根据二项式展开式Ｓ２（1＋ｔ）＝1＋Ｓｔ＋（Ｓ（Ｓ－1）／2！）ｔ＋…＋（（Ｓ（Ｓ－1）…（Ｓ－ｎｎ＋1））／ｎ！）ｔ＋……，（其中Ｓ为任意实数）－３／２有（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＝1＋（－3／2）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋２（（－3／2）（（－3／2）－1）／2！）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋……，－３／２（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＝1＋（－3／2）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）２＋（（－3／2）（（－3／2）－1）／2！）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋……，又由于ｙ＜＜ｒ，或（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ＜＜1，故（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）的二次项及二次项以上高次项可略去，得３ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（1－（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－（ｒｃｏｓθ－ｙ）（1＋（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）］，３２＝－ｋ（2Ｑｑ／ｒ）（3ｃｏｓθ－1）ｙ．２由此可见，当（3ｃｏｓθ－1）＞0时，ｆｙ＜0，即合力方向指向原点，与位移方向相反，即ｆｙ具有回复力的特征．因而点电荷ｑ是稳定的．
３
图3
根据3ｃｏｓθ－1＞0，即ｃｏｓθ＞－ａｒｃｃｏｓ（或当ｃｏｓθ＜－
２
／3时，得／3），
／3）＜θ＜ａｒｃｃｏｓ（
／3时，得／3）＜θ＜π＋ａｒｃｃｏｓ（／3）．
π－ａｒｃｏｓ（
故当限制点电荷ｑ在如图3的阴影区域运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的．三、r