泛。这个不等式限制条件少，aibii123
可以为任意实数，
并且其低维形式（二维形式、三维形式）在高中数学中应用较多。
此外，还有几种比较常用的柯西不等式形式。
二维形式：若abcd都是实数，则a2b2c2d2acbd2当且仅当adcb
时，等号成立。
三维形式：若a1a2a
b1b2b
是实数，其中i123，则
a12a22a32b12b22b32a1b1a2b2a3b32
当且仅当bi
0i123或a1b1

a2b2

a3b3
bi
0其中i123时等号成立。
向量形式设，是两个向量，则。
当且仅当是零向量，或存在实数k使得k时等号成立。
二维形式的三角不等式：设x1x2y1y2R，那么
x12y12x22y22x1x22y1y2）2成立。在高中教材中，先是给出我们二维形式的柯西不等式，然后才归纳出一般形式的柯西不等式的。教材要求我们不仅要掌握柯西不等式，而且还有领略这些不等式（尤其是二（三）维形式的柯西不等式）的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养，培养数学兴趣。下面在证明了一般形式的柯西不等式后，还会进一步对二维形式的柯西不等式作进一步分析。二维
f形式的三角不等式是根据两点间的距离公式以及三角形三边的关系得到的。是从几何角度解释了柯西不等式，同时也能够用柯西不等式进行证明。22常用柯西不等式推论2
柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它的结构对称和谐，具有极强的应用性，证明简洁，深受人们的喜爱。因此，本文将此定理作进一步剖析，参考大量的资料总结出高中常用的几种推论，不管是解题上还是在数学思想上对我们都会有所裨益。





推论一：对任意的两组实数ai、bii12
，有ai2bi2aibi。
i1
i1
i1
当且仅当bi0或ai0或aibi0i123
或存在一个数k使得
aikbii123
时等号成立。


推论二：设aiR，bi

0i123
则
ai2
bi1i
ai2i1

bi
，当且仅当bi
ai
i1
（1i
）等号成立。


推论三：设aibi同号且不为
0（i123…
）则

i1
aibi

ai2
i1
aibi
，当且仅当
i1
b1b2b3b
。
推论四：1a1

1a2

1a3

1a


a1

2a2a

ai
Ri
123

推论五：r