线性代数行列式经典例题
例1计算元素为aiji－j的
阶行列式
解方法1由题设知，a110，a121，a1
1，故
0110D

1
2

1
01

211riri1
i
12
0
11

11
1

1

1
0
cjc

j1
1
202
11
12
2
1
00
01
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第
列．
0110方法2D

1
11
1

2riri111
1

i12
1

1
2
0

1
2
0
10
1cjc1
2

j2

12
3
001
12
2
1
1
例2设abc是互异的实数证明
的充要条件是abc0证明考察范德蒙行列式
Word文档
f

行列式
即为y2前的系数于是

所以
的充要条件是abc0
x10
0
例3计算D
0x1
0
a
a
1a
2
xa1
解：方法1递推法按第1列展开，有
1
x1
D
xD
1（－1）
1a

x1
xD
1a

x1
1
x由于D1xa1，D2a2
1xa1
，于是D

x
D
1
a

（xxD
2a
1）
a

x2
D
2
a
1xa
x
1D1a2x
2a
1xa
x
a1x
1a
1xa

方法2第2列的x倍，第3列的x2倍，，第
列的x
1倍分别加到第1列上
0
10
0
c1xc2
x2
x1
0
D

0
0x
0
a
xa
1a
1a
2
xa1
Word文档
f
0
0
c1x2c3

x3
100
0
x10
0
0x1
0
a


xa
1

x
a2
2
a
1
a
2
a
3
xa1
1
01
x1


按r
展开
x1
1
1f
x
1
f
x
x
a1x
1a
1xa

x1
1
方法3利用性质，将行列式化为上三角行列式．
x
0
0
0
0c2

1x
c1
x
0
0
c3

1x
c2
D

0
0
x
0
c


1x
c
1
a

a
1

a
x
a
2

a
1x

a
x2
k

按c
展开

x
1k
x
1
a
x
1
a
1x
2

a2x
a1x
a
a
1xa1x
1x

方法4
10
按r
展开
D
1
1a

x
1
0000

00
x1
x01
2a
101
00
x1
0012
1a20x
00
x1
00
x112
a1x0x
0000
00
0x
0000
01
（－1）
1（－1）
1a
（－1）
2（－1）
2a
1x
Word文档
f
（－1）2
1（－1）a2x
2（－1）2
a1xx
1
a
a
1xa1x
1x
例4．计算
阶行列式：
a1b1D
a1
a2a2b2
a

a

b1b2b
0
a1
a2
a
b

解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1a2a
，可在保持
原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．
1
0
升阶
D
0
a1a1b1
a1
a2a2a2b2
a

1a1a2
a

a

1br2r1
r3r1
1
0
0
a

1
r
1r1
0
b2
0
0a1
a2
a
b

100
c1

b
1
j1
c
j

1a1b10
a1b1
a1b1
a20
j2
1
0
0b2
a

00b1b2
b

1

a1b1

b
a
b

0
这个题的特殊情形是
a1xD
a1
a2a2x
a1
a2
可作为公式记下来．
00
b

a

a


x
1xai
i1
a
x
例5．计算
阶“三对角”行列r