基本不等式应用注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”应用一：求最值例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋21x2
（2）y＝x＋1x
解：（1）y＝3x
2＋12x
2
≥2
3x221x2＝6∴值域为6，∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋1x≥2x1x＝2；
当x＜0时，y＝x＋1x－（－x－1x）≤－2x1x－2
∴值域为（－∞，－2∪2，∞）解题技巧：
技巧一：凑项
例
1：已知
x

54
，求函数
y

4x

2

14x
5
的最大值。
解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又4x21不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，
4x5
x

54
5

4x

0
，
y

4
x

2

14x
5



5

4x

5
14x


3

2

3

1
当且仅当54x

154x
，即
x
1时，上式等号成立，故当
x
1时，
ymax
1。
技巧二：凑系数
例1当
时，求yx82x的最大值。
当
，即x＝2时取等号当x＝2时，yx82x的最大值为8。
变式：设0x3，求函数y4x32x的最大值。2
解：∵0

x

32
∴32x

0∴
y

4x3
2x

22x3
2x

22x
32
2x2

92
当且仅当2x32x即x303时等号成立。42
技巧三：分离例3求yx27x10x1的值域。
x1
当
即
技巧四：换元
时y2（x1459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。x1
fyt127t1）10t25t4t45
t
t
t
当
即t
时y2t459（当t2即x＝1时取“＝”号）。t
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数fxxa的单调性。x
例：求函数yx25的值域。x24
解：令
x24tt2，则yx25
x24
x24
1t1t2
x24
t
因t0t11，但t1解得t1不在区间2，故等号不成立，考虑单调性。
t
t
因为yt1在区间1单调递增，所以在其子区间2为单调递增函数，故y5。
t
2
所以，所求函数的值域为

52



。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值
x23x1
（1）y
x0
（2）y2x
1
x3
3y2si
x
1
x0
x
x3
si
x
2．已知0x1，求函数yx1x的最大值；3．0x2，求函数yx23x的最大值
3
条件求最值
1若实数满足ab2，则3a3b的最小值是

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab6
当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时r